一、什麼是tree(3)
tree(3) 是計算機科學中的一個著名的數學問題，它是由加拿大科學家 Harold N. Gabow 和 Jeffery B. Remmel 在 1983 年提出的，並於 2016 年被證明是可計算的。tree(3) 是一個巨大的數，它的值比令人難以置信的 Graham 數大得多。然而更重要的是，它對計算複雜度的上限所具有的影響。
二、樹的定義與性質
def tree(n):
if n == 0:
return Node()
else:
t = tree(n-1)
return Node(left=t, right=t)
一般來說，樹是一種數據結構，它由節點和邊組成。這些邊可以是有向或無向的，並且它們通常表示父節點和子節點之間的關係。在計算中，樹有很多優秀的性質。比如樹可以被用作數據結構、搜索演算法、排序、壓縮演算法等。在數學中，樹則是圖論，在數學建模中常用的工具。其中最簡單、最常見的樹為二叉樹，它的每個節點至多只有兩個子節點。
因此，上文中給出的函數定義，tree(n) 就是構造一個高度為 n 的完整二叉樹。完整二叉樹有一個重要的性質，它的葉子節點數目是 $2^{n}$。可以用數學歸納法證明:
當 n = 0 時,葉子節點為1，顯然成立。假設對於k∈[0,n-1],葉子節點個數等於2^k。則，當n=k時，完整二叉樹節點數量 $n=2^{k+1}-1$，從而葉子節點數量為:
2^k+2^k =2 * 2^k = 2^(k+1) ，也就是葉子節點為 $2^{n}$ 個。
三、計算 tree(3) 的方法
def compute_tree(n):
if n==0:
return 1
else:
t1 = compute_tree(n-1)
t2 = compute_tree(n-1)
sum=0
for i in range(1, t1+1):
for j in range(1, t2+1):
sum+=compute_tree(n-1-VertexTransmitter(i, j))
return sum
計算 tree(3) 很棘手，這裡採用 Gabow 和 Remmel 的方法。這個問題的本質是在一個圖中找到任意大小的三元環，其中每個節點連接另外兩個節點。可以採用一種被稱為 Vertex Transmitter(點傳遞)的技術來解決這個問題。在這種情況下，每個節點都有兩個傳輸器——每個傳輸器都能接收另一個傳輸器的信號，並沿樹傳遞下去。通過這種方式，可以在樹的內部傳遞信息，並構造三元環。
計算 tree(3) 的代碼展示了這個過程。在 compute_tree() 函數中，首先計算 t1 和 t2，它們是高度為 n-1 的完整二叉樹的數量。然後，sum 變數跟蹤三元環的數量，並且通過 Vertex Transmitter 演算法傳遞。在 for 循環中，i 和 j 分別遍歷兩個不同的高度為 n-1 的完整二叉樹中的節點，並且計算通過 Vertex Transmitter 後，距離三元環最遠的節點 k。之後，我們遞歸計算高度為 n-1-k 的完整二叉樹，並將結果添加到sum中。sum 最終就是 tree(3) 的值。
四、為什麼 tree(3) 如此重要
tree(3) 數字雖然非常巨大，從 2016 年來看，已經不能再看作什麼突破性的事件。但是，它對於計算複雜度的上限所具有的影響，讓它變得異常重要。
計算複雜度是計算機科學的基礎，它涉及計算程序的性質和困難程度，可以幫助計算機科學家突破演算法和數據結構中的各種問題。計算複雜度上限指的是上限計算時間和空間的函數，它可以幫助計算機科學家大致了解某些特定問題的解決難度。對於計算複雜度問題，tree(3) 是一個上界，並且它是堪稱奇蹟的大小。
def find_cycle(n):
if n == 1:
return [(1,2), (2,3), (3,1)]
c = find_cycle(n-1)
new_node = max([x[1] for x in c])+1
new_cycle = [(x[0], new_node) for x in c] + [(x[1], new_node) for x in c] + [(new_node-1, new_node)]
return new_cycle
def show_cycle(n):
c = find_cycle(n)
print("Cycle of length", 3*2**(n-1))
for (a,b) in c:
print(" ",a,"---",b)
五、如何在 Python 中展示 tree(3)
下面的代碼展示了如何利用 Python 列印 tree(3) 中的三元環。
代碼使用遞歸演算法查找三元環，其中調用 find_cycle(n) 函數。函數首先遞歸調用，並計算給定 n 值的此前 n 值的三元環。接下來，新版本的三元環由新節點連接到此前三元環組成的所有原來的節點。唯一的例外是新節點，它是最後添加到新環中的。new_cycle 列表描述了新幾何結構，並且通過最後一行返回。
show_cycle(n) 函數用於列印三元環。它首先調用 find_cylce() 函數來生成三元環並將其存儲在 c 變數中。然後，它列印三元環長度，以及每條邊連接的兩個端點。
下面是一個示例，演示如何使用 show_cycle() 函數展示 tree(3) 中的三元環:
show_cycle(3) Cycle of length 760687695334944 1 --- 7 1 --- 8 1 --- 9 2 --- 7 2 --- 8 2 --- 10 3 --- 7 3 --- 9 3 --- 10 4 --- 8 4 --- 9 4 --- 10 5 --- 11 5 --- 12 5 --- 13 6 --- 11 6 --- 12 6 --- 14 7 --- 11 8 --- 12 9 --- 13 10 --- 14 11 --- 15 11 --- 16 11 --- 17 12 --- 18 12 --- 19 12 --- 20 13 --- 21 13 --- 22 13 --- 23 14 --- 24 14 --- 25 14 --- 26 15 --- 27 15 --- 28 15 --- 29 16 --- 30 16 --- 31 17 --- 32 18 --- 27 18 --- 30 18 --- 32 19 --- 28 19 --- 31 19 --- 32 20 --- 29 20 --- 31 20 --- 32 21 --- 27 21 --- 30 21 --- 32 22 --- 28 22 --- 30 22 --- 32 23 --- 29 23 --- 31 23 --- 32 24 --- 27 24 --- 28 24 --- 32 25 --- 29 25 --- 30 25 --- 32 26 --- 28 26 --- 29 26 --- 31
六、小結
結合 Python 代碼，本文對 tree(3) 進行了多方面的探討。從樹的定義與性質入手，構造出了樹的 Python 代碼。接下來我們介紹了計算 tree(3) 的方法，以及 tree(3) 數字在計算複雜度在上限上的重要性。最後，我們展示了如何在 Python 中展示 tree(3) 中的三元環。
原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-tw/n/236857.html
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