cosx+jsinx的簡單介紹

本文目錄一覽：

• 1、sinx和e指數的關係
• 2、虛函數含有能否求導或積分？如jsinx,j cosx等？？
• 3、如何快速記住三角函數的格種公式
• 4、後邊兩步完全看不懂，求高手解答
• 5、sinx和cosx怎麼換算？
• 6、誰能給我歐拉公式的證明過程，謝謝。e^(jx)=cosx+jsinx

sinx和e指數的關係

 e^jx=cosx+jsinx。

歐拉公式是e^(jx)=cosx+jsinx,可得出e^(-jx)=cosx-jsinx，再有sinx=[e^(jx)-e^(-jx)]/(2j)，cosx=[e^(jx)+e^(-jx)]/2，j為虛數單位。

積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

虛函數含有能否求導或積分？如jsinx,j cosx等？？

可以！完全可以！

複變函數 complex variables / complex function，

就是關於含有虛數的微積分，或者說，就是關於複數範圍內的微積分。

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j sinx ，對 x 的導數是 j cosx，

j cosx，對 x 的導數 -j sinx，

e^(jx²)，對 x 的導數是 2xe^(jx²)。

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若有疑問，歡迎追問，有問必答。

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如何快速記住三角函數的格種公式

畫兩個三角形，一個30°、60°、90°，設最短的邊（即30°所對那條）為1，則斜邊為2，第三邊為根號3；一個45°、45°、90°，設兩條腰為1，則第三邊為根號2，這樣畫出來以後，就能輕易地寫出三角函數的公式了。

後邊兩步完全看不懂，求高手解答

解：是應用歐拉公式化簡的【歐拉公式是e^(jx)=cosx+jsinx,可得出e^(-jx)=cosx-jsinx，再有sinx=[e^(jx)-e^(-jx)]/(2j)，cosx=[e^(jx)+e^(-jx)]/2，j為虛數單位】。本題中，為表述簡潔一些，設a=ω0j，b=2πkj/N，c=1/(2j)，則原式=c{[1-e^(-aN)]/[1-e^(a-b)]-[1-e^(aN)/[1-e^(-a-b)]}。將其通分、展開、再用歐拉公式回代，有[sin(ω0)-{[sin(Nω0+ω0)]e^(-2πkj/N)+sin(Nω0)]}/[1-2cos(ω0)e^(-2πkj/N)+e^(-4πkj/N)]。供參考啊。

sinx和cosx怎麼換算？

平方公式：sinx=±√（1-cosx∧2）cosx=±√（1-sinx∧2）

誘導公式：sin（π/2+x）=cosx，cos（π/2+x）=—sinx

證明：sinx∧2+cosx∧2=1，移項得sinx∧2=1-cosx∧2，開平方得sinx=±√（1-cosx∧2）。

同理sinx∧2+cosx∧2=1，移項得cosx∧2=1-sinx∧2，開平方得cosx=±√（1-sinx∧2）。

擴展資料：

（1）平方和關係（sinα）^2 +（cosα）^2=1

（2）積的關係sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ），cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα），tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)

（3）倒數關係tanα × cotα = 1，sinα × cscα = 1，cosα × secα = 1

參考資料：百度百科——正弦

誰能給我歐拉公式的證明過程，謝謝。e^(jx)=cosx+jsinx

方法一：用冪級數展開形式證明，但這只是形式證明（嚴格的說，在實函數域帶著i只是形式上的） 設z = x+iy 這樣 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x =e^(iy)

用牛頓冪級數展開式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+…..+x^n/n!+……

把 e^(iy) 展開，就得到

e^z/e^x = e^(iy)

=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-…..

=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+…..)

+i(y-y^3/3!+y^5/5!-….)

由於 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+…..,

siny = y-y^3/3!+y^5/5!-….

所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)

即 e^(iy) = (cosy+isiny)

方法二：再 請看這2個積分

∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2

∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;

上式左邊相當於下式左邊乘以i

於是上式右邊相當於下式右邊乘以i

然後化簡就得到歐拉公式

這個證明方法不太嚴密

但很有啟發性

歷史上先是有人用上述方法得到了對數函數和反三角函數的關係

然後被歐拉看到了,才得到了歐拉公式設a t θ�0�7R,ρ�0�7R+,a^(it)�0�7z有:

a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1

因共軛解適合方程,用-i替換i有:

a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2

由1,2得ρ=1,點P[a^(it)]在單位圓上,a^(it)可表達為:

a^(it)=cosθ+isinθ 3

設t=u(θ),對3微商有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ 整理有:

[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)約去a^(it)有:

u'(θ)=logae 4

4取積分有:

T=(logae)*θ+Ψ 5

θ→0時,t=limt=Ψ,帶入3有:

a^(iΨ)=1 即:

Ψ=0 6

6代入5有:

T=(logae)*θ 7

7代入3有:

[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化簡得歐拉公式:

e^(iθ)=cosθ+isinθ