看到有小夥伴在問，矩陣的秩是什麼，做了那麼多題目，對於矩陣的秩還沒系統的總結過，今天我就結合一下實際例題，來回答一下矩陣的秩是什麼。

矩陣的秩

在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數。

這是矩陣的秩的定義，但是看上去比較難以理解，因此，我打算從多種矩陣的角度來解答這個問題。

我們知道，一般的矩陣是mxn的類型，還有一種就是方陣，方陣就是特殊的矩陣，指的是行數和列數相等的矩陣，對於這兩種矩陣而言，矩陣的秩也有著很大的區別。

對於方陣(行數、列數相等)的A矩陣而言，矩陣的秩就是用R(A)來表示。

對於mxn的A矩陣而言，矩陣的秩有多種情況，最大是m和n中的較小的一個數值，我們稱儘可能大的秩的矩陣為滿秩，那不滿足的話就被稱為秩不足。

當然，這些都是定義，還是要給出實際的例子才能解釋什麼才是矩陣的秩。

我們一般怎麼來計算矩陣的秩。

通俗的講，就是數數，數矩陣的非零行數。

矩陣的秩其中有一個定理，這個定理需要大家進行記憶，初等變換不改變矩陣的秩，根據這個定理，我們在計算矩陣的秩的時候就用矩陣的初等行變換將矩陣變成行階梯矩陣，而行階梯矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩。

圖一

那麼，對於矩陣的秩有一個初步的了解之後，我們再來研究相應的例題。

在研究例題之前，矩陣的秩有幾個定理需要記憶一下。

1、矩陣進行初等變換後是不改變矩陣的秩的，這是我之前舉例子也提到過的一點。

2、矩陣的行秩、列秩、秩都是相等的，這就意味著你只要求出其中一個，就能夠知道其他的條件。

3、如果矩陣A可逆的話，矩陣A和它的逆矩陣B相乘得到的矩陣和逆矩陣B的秩相等，反過來，即為R(AB)=R(B)。

4、假設存在兩個矩陣M和N，由於矩陣相乘得到的新矩陣的行和列都是在矩陣M和N的行和列的範圍內的，所以相乘得到的新矩陣的秩是小於等於矩陣M和N的最小值，即為R(AB)<=min{RA,RB}。

5、假設存在矩陣K，它的列秩等於列n，由於定理2可以得到列秩和秩都為n。

實際例題

在知道這些定理之後，我們此時做實際的例題就會感覺到簡單一些。

圖二

如圖所示，給出一道例題，我們先審題，矩陣A是3×3的方陣，矩陣B是3×2的矩陣(3行2列)

這裡讓我們求方程AX=B的解。

在求該方程的解之前，我要先提一提AX=B這類方程是什麼。

形如AX=B的這類方程指的是非齊次線性方程組，也就是常數項不全為零的線性方程組。

再來看這道題給的提示，係數矩陣、增廣矩陣和階梯形矩陣。

1、係數矩陣：方程組的係數組成矩陣。

2、增廣矩陣：在係數矩陣的右邊添上一列，是線性方程組的等號右邊的值。

3、階梯形矩陣：如果有零行(元素全為零的那行)，要放在最下方，像階梯一樣排列的矩陣，正如我前文中有提到過的那類。

答案解析

那麼對於這道題而言，我們就要利用以上這些概念來進行解答。

在判斷方程AX=B的解的時候，我們要用的就是判斷矩陣的秩。

我們先將該方程化為增廣矩陣，也就是(A|B)。

圖三

之後，再給出矩陣的秩和求非齊次線性方程組解的關係。

也可以理解為係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩之間的關係。

圖四

在得到這些概念之後，我們便可以完整的將這道題解決出來。

也就是分析係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩。

圖五

這就是這道題完整的步驟過程，至於為什麼AX=B這個非齊次線性方程組要這樣做，就是為了將X每列的值解出來，就是按照方程組的形式解答出來即可。

最後做個總結，對於這類題目，是比較麻煩複雜的，我們要做的就是要對概念非常清晰，矩陣的秩、增廣矩陣、係數矩陣、階梯形矩陣、非齊次線性方程組，一個地方不慎重就容易做錯。

還有一點，就是要清楚增廣矩陣的秩和係數矩陣的秩之間的關係會影響非齊次線性方程組AX=B的解，當我們判斷出各種情況之後，再進行求解，求解的時候就可以進行一一對應，將一列列的值求出來即可，慢慢來，不心急！