主成分分析 (PCA)

一、什麼是主成分分析?

主成分分析是一種數據分析技術，它能夠降低數據集的維度，同時又能保留數據的大部分信息。換句話說，它幫助我們找出最能夠代表原始數據集合的新的獨立特徵，這些特徵又被稱為主成分。

舉個例子：假設你有一個三維數據集 (x, y, z)，其中的所有點都分布在一個平面上。那麼這個數據集的主成分就是這個平面上的一個二維坐標系。

通常情況下，我們會用主成分分析來降低數據集的維度，從而可以更快、更準確地分析數據，並去除不必要的冗餘信息。

二、主成分分析的原理

主成分分析的原理是通過線性變換將一個高維的數據集轉換成一個低維的數據集。這個線性變換的本質是通過計算數據集的協方差矩陣來獲得不同特徵之間的線性相關性，然後將這些特徵轉換為互不相關的新特徵。

最初的數據集的每一列都被認為是一個特徵。PCA通過將數據集在各方向上的方差進行排序，找到與數據集變化最大的方向，並把它作為第一個主成分。然後從剩餘的方向中找到方差次大的那一個，並把它作為第二個主成分，以此類推，一直尋找到K個主成分。

三、主成分分析的應用場景

主成分分析在眾多領域中都有廣泛的應用。下面列舉一些常見的應用場景：

1. 數據可視化

主成分分析能夠將高維數據壓縮成低維數據，並保留原始數據的大部分信息，這就給數據可視化帶來了很大的幫助。在二維或三維中， 人類的視覺系統可以很好地理解和分辨數據，因此主成分分析可以將高維數據轉換為低維數據， 從而便於在二維或三維中進行可視化。

2. 圖像處理

圖像處理中通常會涉及到很多特徵，比如顏色、亮度、紋理等，這些特徵有時是高度相關的。主成分分析可以幫助我們找到圖片中最常出現的視覺模式， 並通過旋轉、縮放和變形等方式將圖片合理地表達出來。

3. 人臉識別

人臉識別中， 在高維圖像空間中很難實現訓練，因此主成分分析再次展現了它的優點。 主成分分析可以將高維圖像轉換到低維， 低維對模型訓練更友好， 並且還可以用於訓練分類器。

四、代碼實例

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

#創建一個3維數據集
data = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]])

#實例化PCA對象，將數據集轉化到二維空間中
pca = PCA(n_components=2)
new_data = pca.fit_transform(data)

print(new_data)

該示例代碼用於將一個3維數據集轉換成一個2維數據集。在代碼中，我們只需要創建一個包含3個特徵的數據集，然後實例化PCA對象，將數據集轉換為一個只有兩個特徵的數據集。