深入理解lowbit演算法

一、lowbit演算法

lowbit演算法，也叫做lowbit函數，是一種運用位運算快速計算數列中二進位末尾0個數的演算法。它可以應用於樹狀數組、二叉樹等數據結構中。

二、lowbit函數的作用

lowbit函數可以返回一個數二進位表示下最後一個1的位置到結尾有多少個0，即返回x的二進位表示中最後一個1對應的值。

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

比如說：對於6（110），lowbit(6)返回的是2（010）

三、與lowbit函數相關的應用

1、樹狀數組

樹狀數組，又稱為二叉索引樹，是一種可以動態維護數組前綴和的數據結構，由於其高效的查詢和修改效率，在競賽和數據結構中得到廣泛應用。

使用樹狀數組實現前綴和用到了lowbit函數，對於一個數組a，其對應的樹狀數組是樹的節點代表區間的和，節點編號對應區間的結束位置。

int n;
int c[N], a[N];
int lowbit(int x) { return x & (-x); } //lowbit函數

void update(int x, int k)//更新操作
{
    for(; x <= n; x += lowbit(x))
        c[x] += k;
}

int getSum(int x)//求區間和操作
{
    int res = 0;
    for(; x; x -= lowbit(x))
        res += c[x];
    return res;
}

2、二叉樹

用樹的形式來存儲有層級關係的數據結構，即樹形結構。lowbit演算法可以用於計算二叉樹中節點的數量、前k小的節點等問題。

例如：在二叉樹中查詢第k小的節點，可以先用lowbit函數計算該節點所處的層級，然後利用樹的深度優先遍歷或廣度優先遍歷統計每一層的節點數量。

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

int countNodes(TreeNode* root) {
    if (!root) return 0;
    int leftDepth = 0, rightDepth = 0;
    TreeNode* leftNode = root->left, *rightNode = root->right;
    while (leftNode) leftDepth++, leftNode = leftNode->left;//統計左子樹的深度
    while (rightNode) rightDepth++, rightNode = rightNode->right;//統計右子樹的深度
    if (leftDepth == rightDepth) return pow(2, leftDepth) - 1;//如果左右子樹深度相等，說明是滿二叉樹，直接返回節點數量
    return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;//否則遞歸計算左右子樹的節點數
}

3、離散化

離散化指的是將一個數列中的數映射到另一個值域內的過程，常用於解決範圍較大，數值較多的排序問題。

而在離散化時，lowbit函數主要用於計算數字的二進位末尾0的個數，用於壓縮表格，以便於優化表格的存儲和查詢效率。

const int N = 100010;
int n;
int a[N], tr[N];//tr數組存放樹狀數組

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void add(int x, int c)//在x位置加c
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x)//求前x項的和
{
    int res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int find(int x)//找到第k個元素
{
    int l = 1, r = n;
    while (l > 1;
        if(sum(mid) >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) add(i, a[i]);
    int k = find(5);//找到第5個元素
    printf("%d", k);//輸出6
    return 0;
}

四、總結

lowbit演算法是一種運用位運算快速計算數列中二進位末尾0個數的演算法，可以應用於樹狀數組、二叉樹等數據結構中。本文從lowbit演算法的定義和作用入手，講述了lowbit函數的具體實現方法，以及在樹狀數組、二叉樹、離散化等場景中的應用。通過學習本文，相信讀者對lowbit演算法有了更深刻的理解，能夠更好地應用於實際編程中。