Matlab高斯擬合

一、高斯分布的基本概念

高斯分布是一種常見的概率分布，也稱為正態分布，其函數形式為：

f(x)=1/(σ√2π)e^(-(x-μ)^2/2σ^2)

其中，μ為均值，σ為標準差。

高斯分布在自然界中隨處可見，例如，人類的身高、體重等都可以用高斯分布來描述。在工程上，高斯分布也有廣泛的應用，例如，信號處理、圖像處理、機器學習等領域。

二、Matlab中的高斯擬合函數

Matlab中自帶了高斯擬合函數gaussmf，其用法如下：

y = gaussmf(x,[sigma c])

其中，x為橫坐標，sigma為標準差，c為中心位置。

下面是一個簡單的示例代碼，演示如何使用gaussmf進行高斯擬合：

% 生成一個帶有雜訊的高斯分布數據
mu = 2; % 均值
sigma = 0.5; % 標準差
x = 0:0.1:4;
y = normpdf(x,mu,sigma);
yn = y + randn(size(y))*0.1;

% 使用gaussmf進行高斯擬合
f = fit(x',yn','gauss1');
plot(f,x,yn);

上述代碼中，先生成一個帶有雜訊的高斯分布數據，並使用gauss1進行擬合。最終將擬合結果與原始數據繪製在同一張圖上，如下：

三、改進的高斯擬合方法

雖然在Matlab中自帶了高斯擬合函數gaussmf，但是其精度和魯棒性有待提高。下面介紹一種改進的高斯擬合方法。

假設有一個n個數據點的高斯分布，其函數形式為：

f(x)=p1*e^(-((x-p2)/p3)^2)

其中，p1、p2、p3為擬合參數。

擬合過程可以採用最小二乘法，通過最小化以下殘差平方和來確定擬合參數：

S = sum((yn-f(x)).^2)

下面是一個簡單的示例代碼，演示如何使用最小二乘法進行高斯擬合：

% 生成一個帶有雜訊的高斯分布數據
mu = 2; % 均值
sigma = 0.5; % 標準差
x = 0:0.1:4;
y = normpdf(x,mu,sigma);
yn = y + randn(size(y))*0.1;

% 使用最小二乘法進行高斯擬合
f = fitgauss(x',yn');
plot(f,x,yn);

function [f, p] = fitgauss(x,y)
    % 初始擬合參數值
    p.guess = [max(y) x(find(y==max(y))) (max(x)-min(x))/5];

    % 定義最小二乘函數
    sse = @(p)sum((y - p(1)*exp(-((x-p(2))/p(3)).^2)).^2);
    
    % 調用fminsearch函數求解最小二乘問題
    p.est = fminsearch(sse,p.guess);

    % 生成高斯擬合函數f
    f = @(x)p.est(1)*exp(-((x-p.est(2))/p.est(3)).^2);
end

上述代碼中，定義了一個fitgauss函數，其中包括了最小二乘函數sse和擬合函數f。最終將擬合結果與原始數據繪製在同一張圖上，如下：

四、總結

Matlab中的高斯擬合函數gaussmf可以方便地對高斯分布進行擬合，但其精度和魯棒性有待提高。改進的高斯擬合方法可以使用最小二乘法對高斯分布進行更精確的擬合。在實際應用中，需要結合具體情況選擇適合的擬合方法。