Hausdorff距離：從多個方面解析

一、什麼是Hausdorff距離

Hausdorff距離是一種用於測量兩個點集之間距離的指標。在數學中，Hausdorff距離也稱作上限距離（supremum distance）、上確界距離（supremum metric）或Fréchet–Hausdorff距離。

在二維和三維空間中，Hausdorff距離可以使用以下的公式進行計算：

   d_H(A,B) = max ( sup_{a\in A} inf_{b \in B} d(a,b) , sup_{b \in B} inf_{a \in A} d(a,b) )

其中，d_H表示Hausdorff距離，A和B是兩個點集，a和b是 A和 B中的任意點，d是兩點間的距離（即歐幾里得距離）。

二、Hausdorff距離和形狀匹配

在形狀匹配（shape matching）領域中，Hausdorff距離被廣泛應用於比較兩個形狀之間的差異。 該領域通常涉及將形狀表示為點雲（point cloud），即用點的集合來描述形狀的特徵。通過計算點雲之間的Hausdorff距離，可以判斷兩個形狀之間的相似度。

下面的Python代碼演示了如何使用NumPy庫計算兩個點集之間的Hausdorff距離：

import numpy as np

def hausdorff_distance(A, B):
    D = np.array([[np.linalg.norm(a-b) for b in B] for a in A])
    return max(np.amax(np.amin(D, axis=1)), np.amax(np.amin(D, axis=0)))

A = np.array([(1,1), (2,2), (3,2)])
B = np.array([(1,2), (2,1), (3,3)])

print(hausdorff_distance(A,B))  # 1.41421356

三、Hausdorff距離和圖像分割

Hausdorff距離也可以應用於圖像分割（image segmentation）領域。圖像分割是將一張複雜的圖像分解成多個簡單的、易於處理的圖像塊的過程，其主要應用於計算機視覺、醫學影像處理、自然語言處理等領域。

Hausdorff距離可以用於度量分割演算法得到的圖像塊和原始圖像之間的差異程度。在下面的代碼中，我們使用Python的OpenCV庫來讀取一張圖片，並使用它的多種分割演算法生成多個圖像塊。然後，我們計算每個圖像塊與原始圖像之間的Hausdorff距離，並輸出距離最大的圖像塊。

import cv2
import numpy as np

def get_image_blocks(image, block_size):
    blocks = []
    for i in range(0, image.shape[0], block_size):
        for j in range(0, image.shape[1], block_size):
            block = image[i:i+block_size, j:j+block_size]
            blocks.append(block)
    return blocks

def hausdorff_distance(A, B):
    D = np.array([[np.linalg.norm(a-b) for b in B.flat] for a in A.flat])
    return max(np.amax(np.amin(D, axis=1)), np.amax(np.amin(D, axis=0)))

image = cv2.imread('image.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# Segment image using Otsu's method
threshold, image_binary = cv2.threshold(image, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)
contours, hierarchy = cv2.findContours(image_binary, cv2.RETR_TREE, cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE)

# Get contour image blocks
blocks = []
for i in range(len(contours)):
    x, y, w, h = cv2.boundingRect(contours[i])
    block = image[y:y+h, x:x+w]
    blocks.append(block)

# Calculate Hausdorff distance for each block
distances = []
for block in blocks:
    distance = hausdorff_distance(block, image)
    distances.append(distance)

# Find block with maximum distance and show it
max_distance_block = blocks[np.argmax(distances)]
cv2.imshow('Max distance block', max_distance_block)
cv2.waitKey(0)

四、Hausdorff距離和聚類分析

Hausdorff距離還可以用於聚類分析（clustering analysis）領域。在聚類分析中，Hausdorff距離被用於計算兩個聚類之間的相似度。當聚類的數據集具有不同的大小和形狀時，Hausdorff距離特別適用於測量它們之間的距離。

下面的Python代碼演示了如何使用SciPy庫進行聚類分析，並使用Hausdorff距離計算兩組數據之間的距離：

from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage
from scipy.spatial.distance import directed_hausdorff
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Generate two-dimensional data
np.random.seed(0)
A = np.random.standard_normal((10, 2))
B = np.random.standard_normal((15, 2)) + [5, 5]

# Calculate directed Hausdorff distances
AB = [[directed_hausdorff([a], B)[0] for a in A]]
BA = [[directed_hausdorff([b], A)[0] for b in B]]
distances = np.hstack([AB, BA])

# Perform hierarchical clustering
Z = linkage(distances, method='ward')

# Plot dendrogram
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.title('Hausdorff distance clustering')
dendrogram(Z, labels=['A']*10 + ['B']*15)
plt.show()

五、Hausdorff距離和機器學習

在機器學習領域中，Hausdorff距離被廣泛應用於建模和分類。該指標被用於度量兩組數據之間的相似度，並且在計算機視覺、生物醫學和自然語言處理等領域中被廣泛應用。

下面的Python代碼演示了如何使用scikit-learn庫中的Hausdorff距離計算兩個形狀之間的相似度，並將結果用於KNN分類器的訓練：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
import numpy as np

# Generate random shapes
np.random.seed(0)
A1 = np.random.standard_normal((10, 2))
A2 = np.random.standard_normal((15, 2)) + [5, 5]
B = np.random.standard_normal((20, 2)) + [2.5, -5]

# Calculate Hausdorff distances
distances_A1_A2 = pairwise_distances(A1, A2, metric='hausdorff')
distances_A1_B = pairwise_distances(A1, B, metric='hausdorff')
distances_A2_B = pairwise_distances(A2, B, metric='hausdorff')

# Train KNN classifier
distances = np.vstack([distances_A1_A2, distances_A1_B, distances_A2_B])
labels = np.hstack([np.zeros(len(distances_A1_A2)), np.ones(len(distances_A1_B)), np.ones(len(distances_A2_B)) + 1])
classifier = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3, metric='precomputed').fit(distances, labels)

# Predict new shapes
C = np.random.standard_normal((8, 2)) + [5, -5]
distances_A1_C = pairwise_distances(A1, C, metric='hausdorff')
distances_A2_C = pairwise_distances(A2, C, metric='hausdorff')
distances_B_C = pairwise_distances(B, C, metric='hausdorff')
distances_test = np.vstack([distances_A1_C, distances_A2_C, distances_B_C])
predictions = classifier.predict(distances_test)

print(predictions)