使用numpy.polyfit進行數據擬合的技巧

一、簡介

Numpy是一個功能強大的Python科學計算庫，其中包含了很多常用的數學函數和方法。其中numpy.polyfit函數就是一個非常常用的函數，它可以用於多項式擬合。多項式擬合是指將一組數據用一個n階多項式進行擬合，得到一個多項式函數，從而實現對數據的擬合和預測的目的。其中n階多項式的係數就是擬合函數的參數。

二、numpy.polyfit函數使用方法

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

1. 參數說明

• x：1-D或2-D數組表示的x坐標系的數據。
• y：1-D數組，表示y坐標系的數據，與x的維度也應該一致。
• deg：擬合多項式的階數，即多項式的次數。
• rcond：用於確定奇異值的容差。也就是說，如果最小奇異值已經小於這個容差值，那麼將放棄行列式的計算。默認值是len(x)*eps，其中eps是浮點數的機器精度。
• full：如果為True，則返回擬合函數的一些附加信息，包括擬合殘差、排名、奇異值和秩的值。默認值是False。
• w：與y具有相同長度的1-D數組或None，用於指定相應的y值的權重。默認是None。
• cov：如果為True，返回擬合確信度的協方差矩陣。默認值是False。

2. 返回值

擬合函數的參數。在多項式擬合中，返回值是一個1-D數組，其中第一個元素是最高階項（x^deg）的係數，最後一個元素是常數項係數。注意：返回值是p[::-1]。

3. 代碼實現

import numpy as np

# 利用numpy.polyfit函數進行一階多項式擬合，得到函數f
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])
f = np.polyfit(x, y, 1)

# 繪製擬合後的曲線
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
plt.plot(x, np.polyval(f, x), 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

三、numpy.polyfit函數在多項式擬合中的應用

1. 用一階多項式擬合數據

一階多項式指的是y = kx + b，即直線函數。利用numpy.polyfit函數可以方便地進行直線擬合，代碼實現如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始數據
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])

# 擬合函數
f = np.polyfit(x, y, 1)

# 繪製擬合結果
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
plt.plot(x, np.polyval(f, x), 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

2. 用高階多項式擬合數據

除了一階多項式外，還可以用高階多項式（例如二次函數、三次函數等）進行數據擬合。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始數據
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 6, 9, 10, 11])

# 二次函數擬合
f = np.polyfit(x, y, 2)

# 繪製擬合結果
plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
plt.plot(x, np.polyval(f, x), 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

3. 用numpy.polyfit對非線性數據進行擬合

除了對線性數據的擬合外，還可以利用numpy.polyfit函數對非線性數據進行擬合，例如下圖所示的非線性函數擬合：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始數據
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([10, 17, 25, 37, 50])

# 擬合函數（使用3階多項式）
f = np.polyfit(x, y, 3)

# 繪製擬合結果
xp = np.linspace(0, 6, 100)
plt.plot(x, y, 'o', label='data', markersize=10)
plt.plot(xp, np.polyval(f, xp), 'r', lw=2.5, label='fit')
plt.legend()
plt.show()

四、綜合實例：用numpy.polyfit進行黃金分割數擬合

黃金分割數是指將一條線段分割為兩部分，較大部分與整條線段之比等於較小部分與較大部分之比，其值約為1.6180339887。利用numpy.polyfit函數，可以方便地對黃金分割數進行擬合，從而得到它的近似值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成黃金分割數列
x = np.arange(1, 50)
y = x[:-1] / x[1:]

# 擬合函數
f = np.polyfit(x[:-1], y, len(x)-2)

# 繪製擬合結果
plt.plot(x, y, 'ro', label='Golden ratio', markersize=7)
plt.plot(x[:-1], np.polyval(f, x[:-1]), 'b', label='Fitted curve')
plt.legend()
plt.show()

五、總結

本文通過介紹numpy.polyfit函數的參數、返回值以及應用實例，詳細闡述了如何使用該函數進行多項式擬合，以及如何將其應用於非線性數據擬合和特定場景中的實際問題，從而使讀者能夠更加深入地理解和使用Python中的numpy庫。