全能編程開發工程師之Lyndon

一、什麼是Lyndon

Lyndon是一種特殊的字元串，它是指任意長度字元串的最小循環移位，也就是將原字元串旋轉任意個字元所得到的所有字元串中，字典序最小的字元串。Lyndon串在密碼學中有很多應用，有些經典密碼學演算法就是基於Lyndon串的，而且它在字元串演算法中廣泛應用，比如字元串匹配等。

舉個例子，比如要把ababab做旋轉，可以得到6個結果：ababab、bababa、ababab、bababa、ababab、bababa。把這6個字元串排個序，可以得到6個字元串：ababab、ababab、ababab、bababa、bababa、bababa。而我們需要找到其中的Lyndon串，也就是字典序最小的字元串，即ababab。

二、Lyndon串的性質

Lyndon串有一些特別的性質，下面我們來介紹一下。

1、Lyndon串是原串的循環移位中字典序最小的串。

2、Lyndon串不能被更小的Lyndon串的循環移位所表示。

3、任意一個字元串都可以表示為若干個Lyndon串的連接，這些Lyndon串可以按字典序排列。

4、一個串是Lyndon串的充要條件是它本身小於所有非平凡循環移位的最小值。

這些性質可以用來做一些有趣的事情，比如求一個長字元串中最短的Lyndon串，或者求Lyndon串的個數等。

三、Lyndon分解

根據Lyndon串的性質，我們可以將任意一個字元串進行分解，使得每個分解部分都是一個Lyndon串。

def lyndon_decompo(s):
    """
    對字元串s進行Lyndon分解
    """
    res = []
    i = 0
    while i < len(s):
        j, k = i, i + 1
        while k < len(s) and s[j] <= s[k]:
            if s[j] < s[k]:
                j = i
            else:
                j += 1
            k += 1
        while i <= j:
            res.append(s[i: i + k - j])
            i += k - j
    return res

上面的代碼中，我們從i開始，找到一個比s[i]大的位置k，然後從j開始找到一個位置，使得從j到k的所有子串都不是Lyndon串。這樣得到一個Lyndon分解，時間複雜度是O(N)。

四、Lyndon串的應用

Lyndon串在字元串演算法中有很多應用，這裡列舉兩個常見的應用：字元串匹配和Lyndon串的個數。

五、字元串匹配

字元串匹配是一個比較經典的問題，主要是檢查文本串中是否有一個模式串出現。我們可以用暴力演算法或者KMP演算法等來解決這個問題，下面我們介紹一種基於Lyndon串的字元串匹配演算法。

def lyndon_search(s, pattern):
    """
    基於Lyndon串的字元串匹配演算法
    """
    def solve(A, pattern):
        if not A:
            return False
        if A[0] == pattern:
            return True
        if A[0] > pattern:
            return False
        # 對每個前綴進行繼續分解
        for i in range(1, len(A)):
            if solve(A[:i], pattern) and solve(A[i:], pattern):
                return True
        return False
    # 將s分解為Lyndon串列表
    A = lyndon_decompo(s)
    # 遞歸地尋找pattern
    return solve(A, pattern)

上面的代碼中，我們將文本串s進行Lyndon分解，然後遞歸地尋找模式串pattern是否在Lyndon分解列表中出現。這個演算法的時間複雜度主要取決於Lyndon分解的時間複雜度，最壞情況下是O(N ^ 2)。

六、Lyndon串的個數

我們可以用dp方法來求解n長度字元串中的Lyndon串數量，下面給出代碼實現。

def count_lyndon(n):
    """
    求n長度字元串中的Lyndon串數量
    """
    dp = [1] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i // 2, 0, -1):
            dp[i] += dp[j]
    return dp[n]

上面的代碼中，我們用dp[i]表示長度為i的字元串中的Lyndon串數量。對於任意一個i，我們可以將其分成兩個長度為j和長度為i-j的子串。如果這兩個子串不等，那麼dp[i]就可以加上dp[j]。這樣我們可以遞推得到所有的dp[i]。

七、小結

通過本文的介紹，我們了解了Lyndon串的概念、性質、分解以及應用。Lyndon串在密碼學、字元串演算法中都有廣泛的應用，對於演算法開發工程師來說，了解Lyndon串的概念和性質可以給我們帶來很多啟示。而代碼實現方面，我們介紹了Lyndon分解、字元串匹配和求Lyndon串數量等演算法的實現方法。