Gaussian Copula 分析

Gaussian Copula是一種常用於分析金融市場、保險、信用風險、氣候變化等領域的統計模型，它將多變數隨機變數的邊緣分布和相依結構分開處理，適用於高維和非正態多變數分析。

一、Gaussian Copula 概述

Gaussian Copula又稱高斯背景下的概率因子投射法，它視多元分布的相關係數為背景下的概率分布函數。其思路是將多個隨機變數的聯合分布分為邊緣分布和相依結構兩部分，其中邊緣分布可以是任意分布，而相依結構則以高斯分布為核心進行描述。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def gaussian_copula(x, rho):
    # 計算x的秩次
    vars = x.shape[1]
    ranks = []
    for i in range(vars):
        ranks.append(rankdata(x[:,i]))

    # 將秩次轉換成標準正態分布
    ranks = norm.ppf(np.transpose(ranks) / (x.shape[0] + 1), axis=0)

    # 計算相關性矩陣
    r = np.identity(vars, dtype=np.float)
    for i in range(vars):
        for j in range(i+1,vars):
            r[i,j],_ = spearmanr(x[:,i], x[:,j])
            r[j,i] = r[i,j]

    # 計算平均帶狀協方差矩陣
    t = 2 * rho / (1 - rho)
    C = np.identity(vars, dtype=np.float)
    for i in range(vars):
        for j in range(i+1,vars):
            C[i,j] = t * r[i,j] / (1 + t - r[i,j] * t)
            C[j,i] = C[i,j]

    # 計算多元正態分布的累計概率
    return norm.cdf(np.dot(norm.ppf(np.transpose(norm.cdf(ranks))), np.linalg.cholesky(C)))

二、Gaussian Copula 優點

Gaussian Copula作為一種統計模型，主要具有以下優點：

1. 模型簡單、易解釋

Gaussian Copula具備統計學領域中的「銀標準」——高斯分布的性質，方便於我們對結果進行定量分析和解釋，同時對於初學者也更加容易理解。

2. 模型魯棒性較高

Gaussian Copula不需要對數據的分布做出過多假設，只需要假設樣本數據具有一定的相關性結構，這使得模型對於數據的不確定性和雜訊有較高的容錯能力。

3. 適用範圍廣

Gaussian Copula可以適用於高維分析，而普通的統計方法可能會出現維度災難，因為在高維空間下，數據的分布情況變得異常複雜。同時，Gaussian Copula不僅可以分析正態分布的數據，還可以針對多種非正態分布進行分析。

三、Gaussian Copula 缺點

Gaussian Copula作為一種統計模型，同樣具有以下缺點：

1. 對於長尾分布不夠敏感

Gaussian Copula對於數據的馬氏距離等測量指標十分敏感，但對於長尾分布分類的效果不理想，因為在長尾分布下，往往會存在一些離群點對模型產生極大影響。

2. 無法在分布偏斜時使用

雖然Gaussian Copula可以應對多種非正態分布，但若是分布偏斜嚴重，那麼模型的預測能力會顯著下降。此時可以使用其他分布建立Copula，例如T分布。

3. 可能過度擬合

當高相關性和代表性樣本的數量不足時，Gaussian Copula可能會在數據集上過度擬合，導致在新的數據下表現不佳。

結語

作為一種常見的多元分析方法，Gaussian Copula既具備了較高的分析效率和準確性，也具有廣泛的適用範圍和優良的解釋性，與其他分析方法相比，是一個學習成本較低和使用門檻較低的分析模型。