用MATLAB實現SIR傳染病模型預測

一、傳染病模型介紹

傳染病模型是指對人類和動物之間傳播疾病的數學描述，可以通過建模和數值模擬來預測傳播的趨勢和影響，對公共衛生研究具有重要意義。

常見的傳染病模型有SIR模型，它假設人群分為易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）、康復者（Recovered）三個類別，假設每個人在一個時間單位內會接觸到一定數量的人，如果接觸到的人其中有感染者，則他也會被感染。同時假設感染者在一定時間後會康復，或者去世，將從感染者庫存中扣除，加入康復者或死亡者庫存中。基於以上假設，我們可以建立SIR模型。

二、MATLAB實現SIR模型

在MATLAB中，我們可以通過ODE（ordinary differential equations）求解器來模擬SIR模型，下面是MATLAB代碼示例：

function [t,S,I,R]=SIR(beta,gamma,tspan,I0,S0,R0)
%beta：感染率
%gamma：康復率
%tspan：時間跨度
%S0：易感人群初值
%I0：感染人群初值
%R0：康復人群初值

[t,y]=ode45(@(t,y)odefunc(t,y,beta,gamma),tspan,[S0 I0 R0]);
S=y(:,1);
I=y(:,2);
R=y(:,3);

function f=odefunc(t,y,beta,gamma)
%SIR模型的ODE方程
S=y(1);
I=y(2);
R=y(3);
dSdt=-beta*S*I;
dIdt=beta*S*I-gamma*I;
dRdt=gamma*I;
f=[dSdt;dIdt;dRdt];
end

end

上述代碼中的odefunc函數，表示ODE方程，這個函數是對SIR模型的ODE方程的描述；而ode45函數，則是指針對ODE方程進行求解。

三、模型預測

模型建立和求解之後，我們就可以進行模型預測，看看疾病傳播的趨勢和影響。

下面是一個實際案例，假設某傳染病開始於2020年1月1日，在某國家從第60天開始出現，當時有100人感染。假設beta=0.35，gamma=0.05，我們可以預測未來150天內的傳播趨勢。

%設定時間跨度和模型參數
tspan=[0 150];
beta=0.35;
gamma=0.05;
I0=100;
S0=1e7-I0;
R0=0;

%運行模型
[t,S,I,R]=SIR(beta,gamma,tspan,I0,S0,R0);

%繪圖
plot(t,I,'r-',t,S,'b-',t,R,'g-')
xlabel('時間（天）')
ylabel('人口數')
legend('感染者數','易感者數','康復者數')

運行上述代碼，我們可以得到模型預測的結果，如下圖所示。

四、小結

本文介紹了如何使用MATLAB實現SIR傳染病模型預測，模型在傳染病的疫情研究中具有重要應用。同時，我們也看到了ODE方程和ode45求解器的應用，相信對學習MATLAB以及其他數學建模有著重要作用。