深入了解softmax和sigmoid

一、sigmoid函數

sigmoid函數是一種常見的非線性函數，在神經網路和深度學習中具有重要作用。

sigmoid函數的數學表示為：

$$ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$

其中，x為輸入值。

在神經網路中，sigmoid函數通常用於將輸入值映射到一個介於0到1之間的範圍內，這被稱為概率分布。

sigmoid函數的導數公式為：

$$ \sigma^{'}(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x)) $$

通過這個公式，我們可以計算任何一個sigmoid函數的導數。

二、softmax函數

softmax函數是一種常見的函數，它將一個實向量映射成一個歸一化的概率分布。在深度學習中，softmax函數通常用於多分類問題。

假設我們有一個實向量z，它的每個元素表示某個類別的分數，那麼softmax函數的數學表示為：

$$ \sigma(z)_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^k e^{z_j}} $$

其中，i表示第i個元素，j表示全部k個元素。

我們可以看出，softmax函數將每個元素的分數通過exponential運算，將他們歸一化為概率分布。

softmax函數的導數公式為：

$$ \frac{\partial \sigma(z)_i}{\partial z_j} = \sigma(z)_i ( \delta_{ij} - \sigma(z)_j) $$

其中，δ為Kronecker delta符號，當i=j時為1，否則為0。

三、sigmoid函數與softmax函數的區別

sigmoid函數是一種一維的函數，常用於將一個實數映射到一個介於0到1之間的範圍內。

而softmax函數則更常用於多分類問題，將一個實向量映射成一個概率分布。

此外，兩者的形式有所不同，sigmoid函數只有一個輸入，而softmax函數有多個輸入。

四、代碼實現

sigmoid函數代碼示例:

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def sigmoid_derivative(x):
    sig = sigmoid(x)
    return sig * (1 - sig)

softmax函數代碼示例:

def softmax(x):
    exps = np.exp(x)
    sum_exps = np.sum(exps, axis=1, keepdims=True)
    return exps / sum_exps

def softmax_derivative(x):
    s = softmax(x)
    return s * (1 - s)

五、小結

本文介紹了sigmoid函數和softmax函數。我們了解了它們各自的特點和數學公式，同時介紹了它們在神經網路和深度學習中的應用。

最後，我們還提供了函數的Python代碼實現，以便讀者可以更好地理解它們的功能和用法。