CDQ分治演算法詳解

一、基本介紹

CDQ分治演算法是一種高效的演算法，用於解決區間查詢，區間修改的問題。該演算法分而治之，先對問題進行分割，再對每一部分進行排序，最後合併。因為該演算法將數據分為三個部分，所以又被稱為三分治。CDQ分治已經被廣泛應用在計算幾何、計算機視覺、字元串匹配等領域。

二、演算法流程

CDQ分治的演算法流程可以分為三個部分：

1. 分割

將問題分為左、中、右三個部分。中間部分我們需要解決，而左右部分不需要再次分割。

2. 排序

對中間部分進行排序。排序時使用歸併排序或快速排序等經典演算法。

3. 合併

合併左、中、右三個部分。左、右部分不需要經過排序，中間部分已經排好序，所以我們只需要考慮中間部分和左右兩部分的合併。在合併的同時，我們需要根據具體情況計算出所需的一些參數值來解決需要解決的問題。

三、代碼示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 100010
#define lowbit(i) (i & (-i))

struct Query {
    int id, x, y, z, ans;
} q[MAXN], t[MAXN];

struct Node {
    int num, ans;
} tr[MAXN];

bool cmp1(const Query &a, const Query &b) {
    if (a.x == b.x && a.y == b.y) return a.z < b.z;
    if (a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}

bool cmp2(const Query &a, const Query &b) {
    return a.id < b.id;
}

void add(int x, int v) {
    while (x > 1;
    CDQ(l, mid);
    CDQ(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0, cnt = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i].y <= q[j].y) {
            if (q[i].z == 0) add(q[i].y, 1);
            t[k++] = q[i++];
        } else {
            if (q[j].z == 1) {
                q[j].ans += query(q[j].y) - query(q[j].x - 1);
                cnt++;
            }
            t[k++] = q[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        if (q[i].z == 0) add(q[i].y, 1);
        t[k++] = q[i++];
    }
    while (j <= r) {
        if (q[j].z == 1) {
            q[j].ans += query(q[j].y) - query(q[j].x - 1);
            cnt++;
        }
        t[k++] = q[j++];
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++) add(q[l + i].y, -1);
    for (int i = 0; i > n;
    for (int i = 1; i > x >> y;
        q[++m] = {i, x, y, 0};
    }
    int qn;
    cin >> qn;
    for (int i = 1; i > x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        q[++m] = {i, x2, y2, 1};
        q[++m] = {i, x1 - 1, y2, 1};
        q[++m] = {i, x2, y1 - 1, 1};
        q[++m] = {i, x1 - 1, y1 - 1, 1};
    }
    sort(q + 1, q + 1 + m, cmp1);
    CDQ(1, m);
    sort(q + 1, q + 1 + m, cmp2);
    for (int i = 1; i <= qn; i++) cout << q[i].ans << endl;
    return 0;
}

四、總結

CDQ分治演算法是一種高效的演算法，適用於解決區間查詢、區間修改等問題。該演算法具有一定的難度，需要掌握基本的演算法思想，結合實際問題進行練習。希望讀者能夠通過本文理解並掌握該演算法。