拉氏變換常用公式詳解

一、拉氏變換簡介

拉氏變換是一種重要的數學工具，在信號和系統、控制系統、電路和數字信號處理等領域廣泛應用。拉氏變換將時域中的信號轉換為復頻域中的函數，可以簡化求解微分方程和積分方程、解決信號處理中的濾波、儲存和傳輸等問題，因此被廣泛應用。

拉氏變換的運算公式包括正變換和反變換，其中，正變換將一個時域信號轉換為頻域信號，而反變換則將頻域信號轉換為時域信號。下面，我們將從拉氏變換常用公式的角度進行詳細闡述。

二、拉氏變換的常用公式

1. 基本變換

基本變換是拉氏變換的最基礎形式，常用於解決微分方程和積分方程等問題。

(1) 正變換公式

正變換公式描述了如何將時域信號轉換為復頻域信號。

$L\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

其中，f(t)表示一個定義在半軸上的函數，s表示拉普拉斯變換的變數，L{}表示拉普拉斯變換的運算符。

(2) 反變換公式

反變換公式描述了如何將復頻域信號還原為時域信號。

$L^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\frac{1}{2\pi j}\lim_{T\to \infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}F(s)e^{st}ds$

其中，F(s)表示一個拉普拉斯變換函數，$L^{-1}${}表示拉普拉斯變換的反運算符，$\gamma$表示收斂區域的實部。

2. 基本性質

(1) 移位定理

移位定理可以描述在頻域中我們對時域信號進行哪些變化。

$L\{f(t-a)u(t-a)\}= e^{-as}F(s)$

其中，u(t)表示單位階躍函數，a為正實數。

(2) 初值定理

初值定理可以描述一個信號在時刻0時的初始值如何在拉普拉斯域中表示。

$\lim_{s\to \infty}sF(s)=\lim_{t\to 0}f(t)$

(3) 終值定理

終值定理可以描述一個函數在時域中的穩定狀態如何在復頻域中顯示。

$\lim_{s\to 0}sF(s)=\lim_{t\to \infty}f(t)$

(4) 共軛定理

共軛定理描述了在復頻域中一個變換函數的共軛如何影響另一個變換函數。

$L\{f^*(t)\}=F^*(-s^*)$

其中，F*(s*)表示F(s)的共軛複數。

3. 常見基本信號的拉氏變換

(1) 單位階躍函數

$L\{u(t)\}=\frac{1}{s},\, s>0$

(2) 單位衝擊函數

$L\{\delta(t)\}=1$

(3) 正弦函數

$L\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$

(4) 餘弦函數

$L\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^2+\omega^2}$

(5) 指數函數

$L\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},\, s>a$

4. 結語

本文詳細介紹了拉氏變換常用公式的各種形式和用法，涵蓋了拉普拉斯變換的基礎知識和重要性質，並介紹了常見基本信號的拉普拉斯變換的表達式。

在實際應用中，我們根據具體問題選擇合適的方法，利用拉氏變換解決不同領域的問題，提高我們的工作效率。