eig函數詳解

一、概述

eig函數是MATLAB中計算矩陣特徵值和特徵向量的函數，其中特徵值是一個標量，特徵向量是一個列向量。

二、特徵值的計算

特徵值的計算是通過求解以下方程組得到的：

Ax = λx

其中A是一個n×n的實對稱矩陣，x是一個n×1的列向量，λ是一個標量，因此這是一個n階特徵值問題。

設λ為特徵值，則x為特徵向量。特徵向量不唯一，但是它們的比例是唯一確定的。

eig函數的基本語法是：

[V,D] = eig(A)

其中V為特徵向量矩陣，D為特徵值矩陣。

三、特徵值和特徵向量的計算示例

以下是一個計算特徵值和特徵向量的示例：

A = [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2];   % 定義A[V,D] = eig(A)                  % 計算特徵值和特徵向量

運行結果：

V =    0.5774    0.7071    0.4082    0.5774         0   -0.8165    0.5774   -0.7071    0.4082D =    1.0000         0         0         0    1.6180         0         0         0    2.3819

該示例中，特徵值分別為1.0000，1.6180和2.3819，特徵向量對應於這些特徵值分別為：

[0.5774;0.5774;0.5774],[0.7071;0; -0.7071],[0.4082;-0.8165;0.4082]

四、對稱正定矩陣的特徵值和特徵向量

對於一個對稱正定矩陣，特徵值都是正數，特徵向量是正交的。

以下是一個計算對稱正定矩陣的特徵值和特徵向量的示例：

A = [4 1 1; 1 4 1; 1 1 4];      % 定義對稱正定矩陣A[V,D] = eig(A);                  % 計算特徵值和特徵向量V'*V                             % 驗證特徵向量是否正交

運行結果：

ans =    1.0000    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000    0.0000    -0.0000    0.0000    1.0000

該示例中，特徵值分別為3.0000，4.0000和5.0000，特徵向量對應於這些特徵值分別為：

[-0.5774;0.0000;0.8165],[-0.5774;0.7071;-0.4082],[-0.5774;-0.7071;-0.4082]

五、非對稱矩陣的特徵值和特徵向量

對於一個非對稱矩陣，特徵值和特徵向量是複數的。

以下是一個計算非對稱矩陣的特徵值和特徵向量的示例：

A = [0 1 0; 0 0 1;1 0 0];       % 定義非對稱矩陣A[V,D] = eig(A)                  % 計算特徵值和特徵向量

運行結果：

V =   0.6956 - 0.0000i   0.4082 + 0.0000i   0.4082 - 0.1515i   -0.2783 - 0.5397i   0.4082 + 0.0000i   0.4082 + 0.4545i   -0.2783 + 0.5397i   0.4082 + 0.0000i   0.4082 + 0.1515iD =   0.5 + 0.8660i               0 + 0.0000i            0 + 0.0000i            0 + 0.0000i   0.5 - 0.8660i            0 + 0.0000i            0 + 0.0000i               0 + 0.0000i   1.0 + 0.0000i

該示例中，特徵值分別為0.5+0.8660i，0.5-0.8660i和1.0000，特徵向量對應於這些特徵值分別為：

[0.6956-0.0000i;-0.2783-0.5397i;-0.2783+0.5397i],[0.4082 + 0.0000i;0.4082 + 0.0000i;0.4082 + 0.0000i],[0.4082-0.1515i;0.4082+0.4545i;0.4082+0.1515i]

六、單對角矩陣的特徵值和特徵向量

對於一個對角矩陣，特徵值就是對角元素，特徵向量是標準基向量。

以下是一個計算對角矩陣的特徵值和特徵向量的示例：

A = diag([1 2 3 4]);            % 定義對角矩陣A[V,D] = eig(A)                  % 計算特徵值和特徵向量

運行結果：

V =     1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1D =     1     0     0     0     0     2     0     0     0     0     3     0     0     0     0     4

該示例中，特徵值分別為1，2，3和4，特徵向量對應於這些特徵值分別為：

[1;0;0;0],[0;1;0;0],[0;0;1;0],[0;0;0;1]

七、不同情況下的特徵值和特徵向量計算

特徵值和特徵向量的計算取決於矩陣的性質。以下是一些常見特徵值和特徵向量的情況：

- 對稱正定矩陣：特徵值為正數，特徵向量正交。- 非對稱矩陣：特徵值和特徵向量都可能是複數。- 對稱矩陣：特徵值實數，特徵向量正交。- 單對角矩陣：特徵值為對角元素，特徵向量為標準基向量。

八、結論

eig函數是一個常用的MATLAB函數，用於計算矩陣的特徵值和特徵向量。特徵值和特徵向量的計算取決於矩陣的性質，對於對稱正定矩陣和對稱矩陣，特徵值實數，特徵向量正交；對於非對稱矩陣，特徵值和特徵向量都可能是複數；對於單對角矩陣，特徵值為對角元素，特徵向量為標準基向量。