有限元方法介紹

一、基礎概念

1、有限元方法是工程結構設計、分析和有關問題求解的強有力的數學工具。

2、其主要思想是將連續物質劃分為有限數量的元素，每個元素的代表性質可以用局部方程來描述。

3、元素之間的聯合通過在元素邊界上給定的條件來實現。

4、有限元方法的主要應用領域包括結構力學模擬、流體力學、電場和磁場分析等。

二、離散化過程

1、將實際物體轉化為數字模型，需要進行離散化過程。

// 代碼示例
from dolfin import *
mesh = Mesh("geometry.xml")
V = VectorFunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
a = dot(u, v)*dx
L = Constant((0.0, 0.0, 0.0))
bc = DirichletBC(V, Constant((0.0, 0.0, 0.0)), DomainBoundary())
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)

2、離散化過程中需要將物體分割成多個子區域，通過將整個區域分段，將解決方案簡化成多個小部分。

3、每個單元可以用一組局部坐標表示，其在父元素上的位置由幾何參考坐標的插值方式確定。

4、在每個元素內部，解決方案可以通過有限單元插值來逼近。

三、框架實現

1、有限元方法的框架實現包括一系列的計算模塊，例如網格生成、離散化、求解方程組、後處理等。

// 代碼示例
import numpy as np
from scipy import linalg

def stiffness_matrix(num_nodes, elements, areas):
    stiffness = np.zeros((num_nodes, num_nodes))
    for elem in range(len(elements)):
        nodes = elements[elem]
        x = nodes[0]
        y = nodes[1]
        for i in range(2):
            for j in range(2):
                stiffness[x+i, x+j] += areas[elem]/6
                stiffness[x+i, y+j] += areas[elem]/12
                stiffness[y+i, x+j] += areas[elem]/12
                stiffness[y+i, y+j] += areas[elem]/6
    return stiffness

def load_vector(num_nodes, loads):
    b = np.zeros(num_nodes)
    for load in loads:
        b[load[0]] += load[1]
    return b

num_nodes = 4
elements = np.array([[0, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 3]])
areas = np.array([1, 2, 2, 1])/2
loads = np.array([[0, -10], [3, -10]])
stiffness = stiffness_matrix(num_nodes, elements, areas)
b = load_vector(num_nodes, loads)
u = linalg.solve(stiffness, b)

2、最常用且成熟的框架是FEMM（Finite Element Method Magnetics），它是一個針對磁場分析的有限元程序。

3、FEMM實現了頻域解決方案，支持線性和非線性材料模型，同時還能夠解決多物理場問題。

四、應用領域

1、有限元方法廣泛應用於結構力學模擬、流體力學、電場和磁場分析等領域。

2、在機械工程中，有限元法可用於建立機械結構物體的靜力學或動力學模型。

3、在地質學和地球物理學中，有限元法可用於沉積物流、石油地質應用和地震建模。

4、在醫學領域，有限元方法可用於計算機模擬植入物行為、組織機械特性和流體力學行為。