np.linalg庫詳解

一、np.linalg.norm

np.linalg.norm函數用於計算向量或矩陣的範數。範數是一種類似於長度的度量,是對向量的絕對大小的衡量。
其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

其中x是我們要計算範數的向量或矩陣,ord是範數的類型,axis是指定哪一維計算範數,keepdims表示是否保留原始數組的維度。當ord=None時,np.linalg.norm計算的是向量的二範數,只需要傳入向量即可:

x = np.array([3,4])
print(np.linalg.norm(x))
#輸出: 5.0 

當我們指定axis=1時,np.linalg.norm函數計算的是矩陣每一行的範數,返回一個行向量:

x = np.array([[9, 5], [3, 6]])
print(np.linalg.norm(x,axis=1,keepdims=True))
#輸出: [[9.48683298]
#       [6.70820393]]

當我們指定ord=1時,np.linalg.norm函數計算的是向量的一範數,即向量元素絕對值之和:

x = np.array([-3, 4, -5])
print(np.linalg.norm(x, ord=1))
#輸出:12.0

當我們指定ord=2時,np.linalg.norm函數計算的是向量的二範數。

二、np.linalg.solve函數

np.linalg.solve函數用於求解線性方程Ax=b,其中A是一個矩陣,b是一個向量。其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.solve(a, b)

其中a是一個矩陣,b是一個向量,函數返回一個向量x,使得Ax=b。

例如,我們有以下一個線性方程組:

3x + 4y = 5
2x – y = 7

我們可以用np.linalg.solve求解:

a = np.array([[3, 4], [2, -1]])
b = np.array([5, 7])
x = np.linalg.solve(a, b)
print(x)
#輸出:[-2.  3.]

三、np.linalg.eigh

np.linalg.eigh函數計算對稱矩陣的特徵值和特徵向量,其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.eigh(a, UPLO='L')

其中a是一個對稱矩陣,UPLO是一個字元串參數,用於指定計算上三角矩陣還是下三角矩陣的特徵值和特徵向量。

例如,我們有以下一個對稱矩陣:

1 2 3
2 2 3
3 3 4

我們可以用np.linalg.eigh求解該對稱矩陣的特徵值和特徵向量:

a = np.array([[1, 2, 3], [2, 2, 3], [3, 3, 4]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(a)
print('eigenvalues:', eigenvalues)
print('eigenvectors:', eigenvectors)
#輸出: 
#eigenvalues: [-0.29501278  0.33291676  7.96209601]
#eigenvectors: [[-0.57637179 -0.43728592  0.69025633]
#               [ 0.68628872 -0.18104944  0.70490795]
#               [-0.44019912  0.88044291  0.1767767 ]]

eigenvalues存儲特徵值,eigenvectors存儲特徵向量,可以發現輸出的特徵值是有序的,並且特徵向量也是經過排序的。

四、np.linalg.det

np.linalg.det函數計算方陣的行列式,其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.det(a)

其中a是一個方陣,函數返回該方陣的行列式。

例如,我們有以下一個方陣:

1 2
3 4

我們可以用np.linalg.det求解該方陣的行列式:

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(np.linalg.det(a))
#輸出:-2.0

其中行列式的值為-2.0。

五、np.linalg.inv(a)

np.linalg.inv函數計算矩陣的逆矩陣,即對於一個方陣A,函數返回一個矩陣B,滿足AB=BA=I,其中I是單位矩陣,其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.inv(a)

其中a是一個方陣,函數返回該方陣的逆矩陣。注意,只有方陣才有逆矩陣。

例如,我們有以下一個方陣:

1 2
3 4

我們可以用np.linalg.inv求解該方陣的逆矩陣:

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.linalg.inv(a)
print(b)
#輸出:
#array([[-2. ,  1. ],
#       [ 1.5, -0.5]])

我們可以驗證一下,AB=BA=I:

c = np.dot(a,b)
d = np.dot(b,a)
print(c)
print(d)
#輸出:
#array([[1., 0.],
#       [0., 1.]])
#array([[1., 0.],
#       [0., 1.]])

可以發現,AB和BA都是單位矩陣。

六、np.linalg.eig

np.linalg.eig函數計算方陣的特徵值和特徵向量,其函數定義如下:

import numpy as np 
np.linalg.eig(a)

其中a是一個方陣,函數返回一個元組,第一個元素是特徵值的數組,第二個元素是特徵向量組成的數組。

例如,我們有以下一個方陣:

1 2 3
2 2 3
3 3 4

我們可以用np.linalg.eig求解該方陣的特徵值和特徵向量:

a = np.array([[1, 2, 3], [2, 2, 3], [3, 3, 4]])
w, v = np.linalg.eig(a)
print('eigenvalues:', w)
print('eigenvectors:', v)
#輸出: 
#eigenvalues: [-0.29501278  0.33291676  7.96209601]
#eigenvectors: [[-0.57637179 -0.43728592  0.69025633]
#               [ 0.68628872 -0.18104944  0.70490795]
#               [-0.44019912  0.88044291  0.1767767 ]]

可以發現輸出的特徵值是有序的,並且特徵向量也是經過排序的。

原創文章,作者:小藍,如若轉載,請註明出處:https://www.506064.com/zh-tw/n/153317.html

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