線性函數及其應用

一、線性函數的定義

線性函數是指函數$f(x)$可以表示為$f(x) = ax + b$的函數，其中$a$和$b$為常數。

線性函數具有以下性質：

• 曲線是一條直線
• 斜率為常數$a$
• 截距為常數$b$
• 定義域為$(-\infty,+\infty)$
• 值域為$(-\infty,+\infty)$

線性函數圖像下方和上方有兩個平行的直線$x$和$y=ax+b$，並且直線$x$和坐標軸圍成了一個長方形，它的寬度為1。

二、線性函數的應用

1、一次函數的圖像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def plot_line(a, b):
    x = np.linspace(-10, 10, 200)
    y = a * x + b
    plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=1.0, linestyle='-')
    plt.xlim((-10, 10))
    plt.ylim((-10, 10))
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.title('Linear Function')
    plt.show()

plot_line(2, 3)

上述代碼可以繪製出圖像為$2x+3$的線性函數圖像。

2、線性函數的求解

對於線性函數$f(x) = ax+b$，我們可以通過給定的$x$值求出對應的$y$值，也可以通過給定的$y$值求出對應的$x$值。

例如，給定$f(x) = 3x+2$，求$f(4)$：

def solve_linear(x, a, b):
    return a * x + b

result = solve_linear(4, 3, 2)
print(result) # Output: 14

給定$f(x) = 3x+2$，求$x$使得$f(x) = 7$：

def solve_x(y, a, b):
    return (y - b) / a

result = solve_x(7, 3, 2)
print(result) # Output: 1.6666666666666667

因此，我們可以通過線性函數求解一些實際問題，例如，求某個物品不同數量的成本、收益等。

3、線性回歸

線性回歸是一種用於預測數值型連續變數的方法，其核心思想是通過給定的自變數值$x$來預測因變數值$y$，建立一個$x$和$y$之間的關係。

假設我們有一個數據集，我們用線性回歸模型擬合這個數據集，得到$f(x) = ax+b$。

Python實現代碼如下：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 構造數據集
X = [[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]]
Y = [1.2, 2.5, 2.8, 3.6, 3.9, 5.1, 5.8, 6.4, 7.2, 8.0]

# 訓練模型
model = LinearRegression()
model.fit(X, Y)

# 預測
x_predict = [[11], [12], [13]]
y_predict = model.predict(x_predict)

print(y_predict) # Output: [ 8.8   9.6  10.4]

上述代碼可以預測x為11、12、13時的y值。

三、線性函數的性質

線性函數有很多重要的性質，例如，類似於$f(x) = ax+b$的線性函數必須過原點，它方便了我們理解數據之間的關係。

此外，線性函數還具有以下性質：

• 斜率為正時，函數圖像上的點會向上傾斜；斜率為負時，函數圖像上的點會向下傾斜。
• 斜率越大表示增長越快，斜率為0時表示函數不變化，斜率為負表示函數下降。
• 截距為正時，函數圖像會往上平移；截距為負時，函數圖像會往下平移。

因此，線性函數的性質使我們可以更好地理解各個數據點之間的關係，幫助我們進行數據分析和預測，對於解決實際問題具有很大的幫助。