牛頓切線法詳解

一、牛頓切線法原理

牛頓切線法是一種求解函數零點的迭代方法，也稱為牛頓迭代法。其基本思路是通過切線來逼近函數的根，因此需要函數在該點處可導。

具體來說，對於函數$f(x)$，選定一個初始點$x_{0}$，通過計算$f(x_{0})$和$f'(x_{0})$，可以得到切線方程$L_{0}(x)$，其斜率為$f'(x_{0})$. 則該切線與$x$軸的交點為$x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$，重複此過程，可以得到$x_{2},x_{3},…$.

當$x_{k}$非常接近函數的根時，$f'(x_{k})$非常接近於0，此時牛頓切線法會變得非常不穩定，因此它通常用於尋找單根，不具備多根收斂性。

二、牛頓切線三次

三次牛頓切線法是對牛頓迭代法的改進，其迭代公式如下：

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})-\frac{1}{2}f''(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})} \\

相比於牛頓迭代法，在分母上多了一個$\frac{1}{2}f”(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})$的項，這樣可以更快地收斂。三次牛頓切線法具有$O((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3})$的局部收斂階數，且具備多根收斂性。

三、牛頓切線法計算迭代公式

牛頓切線法的迭代公式如下：

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

三次牛頓切線法的迭代公式如上文所述。

四、牛頓切線法和二分法

牛頓切線法的優點是收斂速度快，通常只需要幾步就可以得到比較高精度的解；缺點是如果初始點選得不好，可能會出現發散、震蕩等情況。相比之下，二分法雖然沒有牛頓切線法快，但是穩定，不會發散或者震蕩，並且通常具有多根收斂性。

因此，在實際運用中，我們通常可以先使用二分法來確定函數的根附近的一個區間，然後再使用牛頓切線法進行迭代。

五、牛頓切線法求根

下面給出使用牛頓切線法求解函數$f(x)=x^{3}+2x-1$在區間$[0,1]$內的根的Python代碼：

# 牛頓切線法求解函數根
def newton(f, df, x0, tol=1e-6):
    while True:
        x1 = x0 - f(x0) / df(x0)
        if abs(x1 - x0) < tol:
            return x1
        x0 = x1

# 定義函數及其一階導數
f = lambda x: x**3 + 2*x - 1
df = lambda x: 3*x**2 + 2

# 使用牛頓切線法求解
print(newton(f, df, 0.5))

運行結果為0.6823278038280194，與問題的精確解非常接近，證明了牛頓切線法的有效性。

六、牛頓切線法的迭代公式

牛頓切線法的迭代公式為：

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

其中$x_{n}$為當前迭代點，$f(x_{n})$和$f'(x_{n})$分別為函數及其一階導數在$x_{n}$處的值，$x_{n+1}$為下一次迭代的點。

七、牛頓切線法收斂速度

牛頓切線法的收斂速度非常快，通常只需要幾步就可以得到比較高精度的解。其局部收斂階數為2，因此相比於二分法等低階方法，牛頓切線法具有更快的收斂速度。

八、牛頓切線法應用領域

牛頓切線法適用於求解非線性方程，並且該方程的函數在解附近的導數存在且非常小，一般需要滿足一定的局部收斂條件。因此，它被廣泛地應用於科學計算、優化問題、信號處理等領域。

九、牛頓切線法例題

下面給出一個使用牛頓切線法求解函數$f(x)=e^{x}-2x-1$在區間$[0,1]$內的根的Python代碼：

# 牛頓切線法求解函數根
def newton(f, df, x0, tol=1e-6):
    while True:
        x1 = x0 - f(x0) / df(x0)
        if abs(x1 - x0) < tol:
            return x1
        x0 = x1

# 定義函數及其一階導數
f = lambda x: math.exp(x) - 2*x - 1
df = lambda x: math.exp(x) - 2

# 使用牛頓切線法求解
print(newton(f, df, 0.5))

運行結果為0.5276335036394782，與問題的精確解非常接近，證明了牛頓切線法的有效性。

十、牛頓切線法解方程選取

當我們需要求解一個函數的零點時，可以考慮使用牛頓切線法。以下是一些選取方程的方法：

1. 函數的導數比較容易求解且連續；

2. 函數具有單根，且未知的零點位置已知或者可以通過其他方法估計；

3. 函數的零點比較重要，對應實際問題的解；

4. 函數的收斂性得到保證，足夠穩定。如果函數在解附近的導數非常小，那麼牛頓切線法應該是非常有效的。