Matlab特徵值與特徵向量

一、特徵值與特徵向量的概念

在矩陣和線性代數中，特徵向量被定義為當某個矩陣被乘以這個向量時，這個向量只被拉伸或縮小而不改變方向的向量。特徵值則是這個縮放因子，也就是說，特徵向量是矩陣的「不變向量」，特徵值是這個「不變向量」的比例關係。

在Matlab中，我們可以使用eig函數來計算矩陣的特徵值和特徵向量。例如：

% 創建一個3x3的矩陣
A = [2 1 1; 1 2 1; 1 1 2];

% 計算矩陣A的特徵值和特徵向量
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A);

% 顯示特徵值和特徵向量
disp('特徵值');
disp(eigenvalues);
disp('特徵向量');
disp(eigenvectors);

在以上代碼中，我們創建了一個3×3的矩陣A，並使用eig函數計算了它的特徵值和特徵向量。通過disp函數的幫助，我們可以在Matlab中直接顯示計算結果。

二、計算特徵值與特徵向量的應用

現實中，計算特徵值和特徵向量是非常有用的，它們在數據分析、信號處理、機器學習等領域中得到廣泛應用。

例如，在PCA（Principal Component Analysis）演算法中，我們需要將數據通過特徵值和特徵向量的分解轉換成新的坐標系，從而實現數據的降維。

以下是PCA演算法的代碼示例：

% 創建一個隨機的2x10數據矩陣
data = rand(2, 10);

% 計算數據的協方差矩陣
covariance_matrix = cov(data');

% 計算協方差矩陣的特徵值和特徵向量，並按特徵值從大到小排序
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(covariance_matrix);
[~, order] = sort(diag(eigenvalues), 'descend');
eigenvectors = eigenvectors(:, order);

% 轉換數據為新的坐標系
new_data = eigenvectors' * data;

在以上代碼中，我們首先創建了一個隨機的2×10的數據矩陣，然後計算了矩陣的協方差矩陣。接著，我們使用eig函數計算了協方差矩陣的特徵值和特徵向量，並將特徵值按從大到小的順序排列。最後，通過特徵向量將原始數據轉換到新的坐標系。

三、特徵值與特徵向量的數值穩定性

在實際應用中，我們需要注意特徵值和特徵向量的數值穩定性問題。由於計算機對浮點數的精度有限，當矩陣的條件數（condition number）非常大時，計算的結果可能會存在較大的誤差。

以下是一個具有「病態矩陣（ill-conditioned matrix）」特徵的計算示例：

% 創建一個具有病態矩陣特徵的2x2矩陣
A = [1000 1000; 1 1];

% 計算矩陣A的特徵值和特徵向量
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A);

% 顯示特徵值和特徵向量
disp('特徵值');
disp(eigenvalues);
disp('特徵向量');
disp(eigenvectors);

在以上代碼中，我們創建了一個具有病態矩陣特徵的2×2矩陣A，然後使用eig函數計算其特徵值和特徵向量。由於矩陣的條件數非常大，計算結果會產生較大的誤差。

四、特徵值與特徵向量的圖形展示

最後，我們展示如何通過Matlab將特徵值和特徵向量可視化。下面的代碼將生成一個帶有特徵向量的散點圖：

% 創建一個隨機的2x10數據矩陣
data = rand(2, 10);

% 計算數據的協方差矩陣
covariance_matrix = cov(data');

% 計算協方差矩陣的特徵值和特徵向量，並按特徵值從大到小排序
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(covariance_matrix);
[~, order] = sort(diag(eigenvalues), 'descend');
eigenvectors = eigenvectors(:, order);

% 繪製散點圖與特徵向量
scatter(data(1,:), data(2,:));
hold on;
quiver(zeros(2,1), zeros(2,1), eigenvectors(1,:)', eigenvectors(2,:)');
axis equal;

在以上代碼中，我們首先創建了一個隨機的2×10的數據矩陣，然後計算了矩陣的協方差矩陣。接著，我們使用eig函數計算了協方差矩陣的特徵值和特徵向量，並將特徵值按從大到小的順序排列。最後，通過scatter和quiver函數將數據散點圖與特徵向量可視化。