貝葉斯線性回歸

一、什麼是貝葉斯線性回歸

貝葉斯線性回歸是一種利用貝葉斯推斷的方法來確定線性回歸參數的方法。與傳統的最小二乘回歸相比，貝葉斯線性回歸更加適合在數據集較小或雜訊較大的情況下使用。它能夠通過加入先驗分布來控制參數的更新，使得在不確定的情況下能夠更好地確定參數值。

二、為什麼選擇貝葉斯線性回歸

在進行線性回歸分析時，傳統的最小二乘方法需要求解全部數據點的誤差平方和，這種方法在數據集較小時容易出現過擬合的情況。而貝葉斯線性回歸可以通過使用先驗概率分布來控制參數的範圍，從而避免過擬合。此外，當數據集的雜訊較大時，使用貝葉斯線性回歸可以更好地分類，因為它能夠考慮到不確定性。

三、貝葉斯線性回歸的基本原理

假設我們有一個數據集X = {x1, …, xn}，其中xi是d維的輸入向量，yi是對應的輸出值，我們可以用線性回歸模型來建立預測模型。模型可表示為：y = w^Tx + ε，其中w是線性回歸參數，ε是誤差項。

我們引入一個先驗分布p(w)，用來控制w的取值。如果w的先驗分布是高斯分布，那麼後驗分布也將是一個高斯分布。根據貝葉斯公式，該後驗分布可以表示為：

p(w|X, y) &= \frac{p(y|X, w)p(w)}{p(y|X)} \\
&= \frac{p(y|X, w)p(w)}{\int p(y|X, w)p(w)dw} \\
&\propto p(y|X, w)p(w)

通過對後驗分布的計算，我們可以確定w的最終取值。

四、代碼實現

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

class BayesianLinearRegression:
    def __init__(self, alpha=1., beta=1.):
        self.alpha = alpha
        self.beta = beta
        self.mean = None
        self.covariance = None

    def fit(self, X, y):
        self.mean = np.zeros(X.shape[1])
        self.covariance = (1 / self.alpha) * np.eye(X.shape[1])
        for i in range(X.shape[0]):
            x = X[i, :]
            y_pred = np.dot(self.mean, x)
            sigma_squared = self.beta + np.dot(np.dot(x, self.covariance), x.T)
            k = np.dot(self.covariance, x / sigma_squared)
            self.mean += k * (y[i] - y_pred)
            self.covariance -= np.dot(np.outer(k, x), self.covariance) / sigma_squared

    def predict(self, X):
        y_pred = np.zeros(X.shape[0])
        for i in range(X.shape[0]):
            x = X[i, :]
            y_pred[i] = np.dot(self.mean, x)
        return y_pred

    def credible_interval(self, X, percentile):
        std_error = np.sqrt(1 / self.beta + np.diag(np.dot(np.dot(X, self.covariance), X.T)))
        t_value = multivariate_normal.ppf((1 + percentile) / 2)
        margin_error = t_value * std_error
        return margin_error

五、貝葉斯線性回歸的應用

貝葉斯線性回歸被廣泛應用於許多領域，如金融、醫學、自然語言處理等。例如，可以使用它來預測股票市場的行情變化，預測未來疾病的發生率，或者從文本中提取特定的信息。

總而言之，貝葉斯線性回歸是一種靈活的回歸方法，可以通過使用先驗概率分布來控制參數，並在數據集較少或雜訊較大的情況下獲得更好的性能。