從多個方面詳細闡述linprog的用法

一、簡介

linprog函數是MATLAB中用來求解線性規劃問題的函數，其中lin代表線性，prog代表規劃。它可以通過單純形法或是內點法來求解問題。單純形法是一種經典的方法，內點法則是相對較新的方法。

二、用法

1. 構造線性規劃問題

在使用linprog之前，需要先構造線性規劃問題，即將問題轉化為一個線性規劃目標函數和線性約束的形式。

f = [-5; -4];
A = [1, 4; 2, 3; 2, 1];
b = [170; 140; 90];
lb = [0; 0];

其中f是問題的目標函數，A和b是問題的約束條件，lb是問題的變數下界。

2. 求解線性規劃問題

在構造完線性規劃問題後，可以通過linprog函數來求解問題。

[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, [], [], A, b, lb);

其中x是問題的解，fval是問題的目標函數值，exitflag是求解過程的狀態，output則是一些運行結果的統計信息。如果exitflag為1，則表示求解成功。

3. 輸出結果

在求解完成後，可以將結果輸出。

fprintf('x1=%f, x2=%f, fval=%f\n', x(1), x(2), fval);

其中%f是用於輸出實數的佔位符。

4. 單純形法和內點法選擇

通過指定options參數，可以選擇使用單純形法或是內點法來求解問題。

options = optimoptions('linprog','Algorithm','interior-point');
[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, [], [], A, b, lb, [], options);

其中Algorithm參數可以選擇simplex或是interior-point，分別對應單純形法和內點法。

三、示例

1. 最大化目標函數

假設有以下的線性規劃問題：

maximize 2×1 + 5×2

subject to

2×1 + 3×2 <= 12

x1 + 4×2 <= 16

x1, x2 >= 0

可以通過下面的代碼來求解問題：

f = [-2; -5];
A = [2, 3; 1, 4];
b = [12; 16];
lb = [0; 0];

[x, fval, exitflag, output] = linprog(-f, [], [], A, b, lb);
fprintf('x1=%f, x2=%f, fval=%f\n', x(1), x(2), -fval);

輸出結果為：

x1=4.000000, x2=1.333333, fval=13.333333

2. 最小化目標函數

假設有以下的線性規劃問題：

minimize 2×1 + 3×2

subject to

3×1 + 4×2 >= 24

2×1 + 5×2 >= 20

x1, x2 >= 0

可以通過下面的代碼來求解問題：

f = [2; 3];
A = [-3, -4; -2, -5];
b = [-24; -20];
lb = [0; 0];

[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, [], [], A, b, lb);
fprintf('x1=%f, x2=%f, fval=%f\n', x(1), x(2), fval);

輸出結果為：

x1=4.000000, x2=0.000000, fval=8.000000

3. 不等式約束

假設有以下的線性規劃問題：

maximize 3×1 + 2×2

subject to

x1 + x2 <= 4

x1 – x2 >= 1

x1, x2 >= 0

可以通過下面的代碼來求解問題：

f = [-3; -2];
A = [1, 1; -1, 1];
b = [4; -1];
lb = [0; 0];

[x, fval, exitflag, output] = linprog(-f, [], [], A, b, lb);
fprintf('x1=%f, x2=%f, fval=%f\n', x(1), x(2), -fval);

輸出結果為：

x1=1.500000, x2=2.500000, fval=10.000000

4. 等式約束

假設有以下的線性規劃問題：

maximize 3×1 + 2×2

subject to

x1 + x2 = 4

x1, x2 >= 0

可以通過下面的代碼來求解問題：

f = [-3; -2];
Aeq = [1, 1];
beq = 4;
lb = [0; 0];

[x, fval, exitflag, output] = linprog(-f, [], [], Aeq, beq, lb);
fprintf('x1=%f, x2=%f, fval=%f\n', x(1), x(2), -fval);

輸出結果為：

x1=2.000000, x2=2.000000, fval=10.000000