狀態轉移概率

在計算機科學中，狀態轉移概率指的是從一個狀態到另一個狀態的概率值。在機器學習和人工智慧領域，狀態轉移概率廣泛應用於隱馬爾可夫模型、馬爾可夫決策過程等模型中。

一、概念

狀態轉移概率是在給定前一個狀態下，下一個狀態發生的概率。在一個離散時間的過程中，一個對象被建模為處於某個狀態，它有可能從這個狀態轉移到另一個狀態，也有可能保持在原來的狀態中。

狀態轉移概率可以通過一個狀態轉移矩陣來描述。狀態轉移矩陣的元素包含了從一個狀態到另一個狀態的概率值。如果當前狀態為i，下一個狀態為j，狀態轉移概率可以表示為P(i,j)。P(i,j) 的值越大，表示從狀態i到狀態j的轉移概率越大。

二、應用

1. 隱馬爾可夫模型

隱馬爾可夫模型是一種用於描述離散時間馬爾可夫過程的統計模型。在隱馬爾可夫模型中，一個系統的內部狀態是無法被觀察到的，而只有一些相關的輸出可以被觀察到。這些輸出被用於推斷該系統的內部狀態。

  const A = [
    [0.1, 0.9],
    [0.4, 0.6]
  ];
  const B = [
    [0.7, 0.3],
    [0.1, 0.9]
  ];
  const pi = [0.6, 0.4];
  
  function hmm(state) {
    const n = A.length;
    const m = B[0].length;
    const next = [];
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      let sum = 0;
      for (let i = 0; i < n; i++) {
        sum += pi[i] * A[i][j] * B[j][state];
      }
      next.push(sum);
    }
    return next;
  }

以上代碼實現了一個簡單的隱馬爾可夫模型。其中A是狀態轉移矩陣，B是觀測矩陣，pi是初始狀態概率向量。函數hmm可以根據當前狀態計算下一個狀態的概率分布。

2. 馬爾可夫決策過程

馬爾可夫決策過程是一種用於描述多個離散時間的決策過程的模型。在馬爾可夫決策過程中，每個決策的結果取決於當前狀態和決策本身。而狀態的轉移概率則取決於當前狀態和決策所做出的影響。

  const S = ['s0', 's1', 's2'];
  const A = ['a0', 'a1', 'a2', 'a3'];
  const R = [
    [0, 0, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [0, 0, 1]
  ];
  const P = [
    [[0.5, 0.5, 0], [0.1, 0.1, 0.8], [0, 1, 0]],
    [[0, 0, 1], [0.6, 0.2, 0.2], [0.3, 0.3, 0.4]], 
    [[0, 0.5, 0.5], [0, 0.4, 0.6], [0.5, 0.5, 0]]
  ];
  
  function mdp(state, action) {
    const Rsa = R[action][state];
    let next = Array(S.length);
    for (let j = 0; j < S.length; j++) {
      let sum = 0;
      for (let i = 0; i < S.length; i++) {
        sum += P[action][i][j] * Rsa[i];
      }
      next[j] = sum;
    }
    return next;
  }

以上代碼實現了一個簡單的馬爾可夫決策過程。其中S是狀態集合，A是動作集合，R是獎勵矩陣，P是狀態轉移矩陣。函數mdp可以根據當前狀態和動作計算下一個狀態的獎勵分布。

三、總結

狀態轉移概率是機器學習和人工智慧領域中的重要概念。通過狀態轉移概率，我們可以更好地理解隱馬爾可夫模型、馬爾可夫決策過程等經典模型，並應用它們到實際的問題中。