用 Python 計算圓周率

一、介紹

計算圓周率（π）一直是數學中的一大挑戰。在計算機科學中，我們可以用計算機來實現這一任務。Python 是一種非常適合編寫科學計算程序的編程語言，其支持高精度計算，非常適合用來計算 π。本文將介紹如何用 Python 來計算 π。

二、使用公式計算π

計算圓周率最常用的公式是 π = 4 * arctan(1)，其中 arctan 為反正切函數。在 Python 中，我們可以使用 math 庫中的 arctan 函數來實現這個公式：

import math

pi = 4 * math.atan(1)
print(pi)

通過運行上面的代碼，我們可以得到結果：

3.141592653589793

這是到小數點後 15 位的 π 的值。

三、蒙特卡羅方法計算π

蒙特卡羅方法是一種通過隨機抽樣來得到數值解的方法。用來計算π，我們可以通過在一個正方形內生成隨機點，並計算這些點是否位於以正方形為外接圓的圓內，從而估算 π 的值。

具體實現方法如下：

import random

n = 1000000

inside = 0
for i in range(n):
    x, y = random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1)
    if x**2 + y**2 <= 1:
        inside += 1

pi = 4 * inside / n
print(pi)

上面的代碼首先生成了 n 個範圍在 [-1, 1] 的隨機點。然後，計算這些隨機點中有多少個位於以正方形為外接圓的圓內。最後用這個比例來估算 π 的值。當 n 很大時，得到的結果會越來越接近於真實的 π 值。

運行上面的代碼，我們可以得到結果：

3.141804

比起前面的公式法，結果略微大了一點。但是，使用蒙特卡羅方法的好處在於其可以很容易地擴展到更高維度的空間中：

import random

n = 1000000

inside = 0
for i in range(n):
    x, y, z = random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1)
    if x**2 + y**2 + z**2 <= 1:
        inside += 1

pi = 6 * inside / n
print(pi)

上面的代碼用同樣的方法來估算 3 維空間中的球的體積，其半徑為 1。該程序得出的結果可以用來估算 3 維空間中的 π 值。

四、使用泰勒級數計算π

泰勒級數是一種用多項式的形式來逼近函數的方法。通過使用泰勒級數，我們可以將 π 的計算轉化為多項式的計算。具體相應的公式是：

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...

用 Python 來實現這個計算，代碼如下：

pi = 0
for i in range(1, 1000000, 2):
    pi += (-1)**((i - 1) // 2) * 1 / i

pi *= 4
print(pi)

上面的代碼用了一個循環來計算 π，得到的結果也會越來越接近於真實的 π 值。這種方法的好處在於其可以很容易地擴展到高精度計算，但計算效率相對較低。

五、結論

通過本文的介紹，我們可以看到 Python 可以用多種方法來計算圓周率，包括使用公式、蒙特卡羅方法和泰勒級數。它們各有優缺點，根據需求的精度和計算效率，可以選擇適當的方法。