經驗貝葉斯：理論和實踐

一、優勢與應用

經驗貝葉斯（Empirical Bayes）是貝葉斯統計學中的一種技術，可以簡單理解為先求出樣本數據的參數分布，再以該分布作為一個先驗分布，對參數進行貝葉斯推斷。相比於傳統貝葉斯統計學，經驗貝葉斯有以下優勢：

1、可以有效利用少量數據進行推斷，尤其是單變數的情況下；

2、可以通過減小過分個體化（overfitting）的風險來提升模型性能；

3、可以在不知道真實參數的情況下進行正確推斷，且偏差較小。

經驗貝葉斯在實際應用中也有多種場景。例如在藥物開發中，需要分析哪些化合物是否能夠作為候選藥物進行後續研究；在機器學習中，需要對超參數進行尋優等等。

二、演算法原理

經驗貝葉斯分為兩個步驟：

1、先對似然函數進行估計，得到先驗分布；

2、再將先驗分布作為先驗知識進行貝葉斯推斷，得到後驗分布。

其中，對似然函數進行估計是經驗貝葉斯的核心之一。常用的方法有James-Stein估計和貝葉斯分層模型。以下是貝葉斯分層模型的一個例子：

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.linear_model import Ridge

X, y = load_diabetes(return_X_y=True)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42)

# 對訓練集進行點估計
ridge_reg = Ridge(alpha=1)
ridge_reg.fit(X_train, y_train)
theta_hat = ridge_reg.coef_

# 對測試集進行先驗似然估計，得到先驗分布
from scipy.stats import norm

s_hat = ((y_train - X_train.dot(theta_hat)) ** 2).mean() ** 0.5
theta_prior = norm(0, s_hat)

# 進行後驗推斷
import numpy as np

theta_post = []
for j in range(X_train.shape[1]):
    credible_interval = (0.025, 0.975)
    s = ((y_train - X_train[:,j].dot(theta_hat[j])) ** 2).mean() ** 0.5
    MLE = Ridge(alpha=0).fit(X_train[:, j].reshape(-1, 1), y_train).coef_
    se = s / ((X_train[:,j].shape[0] - 1) ** 0.5)
    t = MLE / se
    p = 2 * norm.sf(abs(t))
    alpha_min = norm.ppf(credible_interval[0], MLE, se)
    alpha_max = norm.ppf(credible_interval[1], MLE, se)
    prior_min = theta_prior.ppf(credible_interval[0])
    prior_max = theta_prior.ppf(credible_interval[1])
    post_alpha = (alpha_min, alpha_max)
    post_prior = (prior_min, prior_max)
    theta_post.append((MLE, se, p, post_alpha, post_prior))
 

三、實例應用

下面以一個簡單的案例為例，演示經驗貝葉斯的具體應用：

問題：假設我們有500篇文章，每篇文章的詞數都不一樣，現在需要計算每個詞在所有文章中的出現頻率。其中200篇文章已經計算好了各個詞的頻率作為參考值，如何通過這200篇文章的數據來估計其他文章的詞頻？

解決方案：

1、提取參考文章中的所有詞，統計每個詞出現在參考文章中的總次數（count_all），以及每篇文章中出現該詞的總次數（count_in_doc）；

2、基於參考文章的信息，計算每個詞的出現概率：

對於每個詞，假設其在參考文章中的出現概率服從Beta（a,b）分布，

a和b的取值可以根據具體場景確定，例如a=b=1或a=b=0.5

然後，可以結合參考文章的數據來估計每個詞的出現概率。同時，也可以通過計算每個詞在當前文章中出現的次數，推斷出其在該文章中的出現概率，以及後驗概率區間等。

import numpy as np
from scipy.stats import beta

class EmpiricalBayes:
    def __init__(self, a=1, b=1):
        self.a = a
        self.b = b

    def fit(self, counts):
        mean_hat = counts.mean()
        var_hat = counts.var()
        alpha_hat = (mean_hat ** 2) / var_hat - mean_hat
        beta_hat = (1 - mean_hat) * mean_hat / var_hat - mean_hat / mean_hat
        self.alpha_hat = alpha_hat
        self.beta_hat = beta_hat
        self.dist = beta(alpha_hat + self.a, beta_hat + self.b)

    def predict(self, counts, confidence=0.95):
        std_hat = counts.std()
        mu_hat = counts.mean()
        t_val = stats.t.ppf((1 + confidence)/2, len(counts)-1)
        se_hat = std_hat / np.sqrt(len(counts))
        ci_low = mu_hat - t_val * se_hat
        ci_upp = mu_hat + t_val * se_hat
        post_a = alpha_hat + np.sum(counts)
        post_b = beta_hat + np.sum([len(x) - c for x, c in zip(counts, count_in_doc)])
        return dist.mean(), dist.interval(confidence), post_a / (post_a + post_b)
        
counts_all = {}
count_in_doc = []
for i in range(n):
    words = articles[i]
    count = Counter(words)
    count_in_doc.append(count)
    for key, value in count.items():
        counts_all[key] = counts_all.get(key, 0) + value

model = EmpiricalBayes()
counts = np.array([count_in_doc[idx][key] for idx, key in enumerate(words)])
model.fit(counts)
p_hat, interval, post = model.predict(counts_all[key])

四、小結

本文針對經驗貝葉斯的理論和實踐進行了詳細的介紹。從優勢與應用、演算法原理、實例應用等多個方面，深入闡述了經驗貝葉斯的基本思想和應用場景。在實際應用中，可以根據具體問題來選擇合適的方法，以此來實現對模型的優化和性能提升。