Kosaraju演算法詳解

一、Kosaraju演算法

Kosaraju演算法是一種強連通分量的查找演算法，可以用於有向圖的處理，它將有向圖中的所有強連通分量找出來。

該演算法是基於深度優先搜索的，首先需要使用深度優先搜索獲得原始圖的反向圖，接著再對反向圖進行一次深度優先搜索。

Kosaraju演算法的時間複雜度為O(V+E)，其中V表示圖中節點數，E表示圖中邊數。

def kosaraju(graph):
    # 翻轉圖
    reversed_graph = reverse_graph(graph)
    # 對翻轉後的圖做一遍DFS，記下時間戳，也就是後序遍歷。
    reversed_order = dfs(reversed_graph)
    # 按照時間戳對原圖中的點排序
    sorted_nodes = sort_nodes_by_order(graph, reversed_order)     
    # 對原圖做一次DFS，每次啟動時所遇到的連通塊即建立了一個強連通分量
    components = []
    visited = set()
    for node in sorted_nodes:
        if node not in visited:
            component = set()
            dfs_visited(graph, node, visited, component)
            components.append(component)
    return components

二、Kosaraju演算法證明

Kosaraju演算法的正確性可以通過以下步驟進行證明：

1. 首先證明「每個強連通分量的點都能夠被Kosaraju演算法找到」。假設有一個強連通分量，但是沒有被找到，即這個強連通分量其中的某個點沒有被訪問到。因為這個點和這個強連通分量中的其它點有連邊，所以這個點一定沒有在原圖的反向圖中被訪問到。這意味著這個點必須排在反向圖中的這個強連通分量中的任意一點之前。而Kosaraju演算法正是按照後序遍歷的順序訪問反向圖的，不可能存在這種情況，因此每個強連通分量都能被找到。

2. 接下來證明「任意兩個強連通分量之間一定不存在路徑」。因為我們是先以任意順序訪問原圖的節點，然後訪問反向圖的同樣的節點，故我們在訪問圖中一個連通分量的時候只有可能能夠訪問到這個連通分量中的所有點，因此在原圖中不會有從一個強連通分量到另一個強連通分量的路徑。同時我們在DFS訪問時訪問圖的順序是根據時間戳進行的，而我們在原圖中的訪問順序已經保證了如果存在一條從某個點到另一個點的弧，則後一個點不可能在前一個點之前被訪問到；在反圖的訪問順序中，原本的後一個點會在訪問前一個點的過程中先被訪問到。所以只要反圖中包含這兩個點，我們就能夠在反圖中訪問到它們，從而在反圖中也不會有從一個強連通分量到另一個強連通分量的路徑。因此，任意兩個強連通分量之間一定不存在路徑。

綜上所述，Kosaraju演算法的正確性得證。

三、Kosaraju是誰

讓我們先來了解一下Kosaraju這個人，他是一位印度數學家，1978年發明了Kosaraju演算法。該演算法是在計算機科學中非常常用的基本演算法，主要應用於計算強連通分量，在處理有向圖時會經常用到該演算法。

四、Kosaraju和Tarjan

Kosaraju演算法和Tarjan演算法都是用來查找有向圖的強連通分量的演算法，它們都是基於深度優先搜索的。兩者處理強連通分量的過程類似，但是Kosaraju演算法比Tarjan演算法更加簡單和易於實現。Tarjan演算法使用Tarjan演算法數對每個點進行編號，運用並查集思想逆序掃描DFS樹併合並子樹，實現同一SCC的點合併在同一個本質強連通分量。雖然Tarjan的時間和空間複雜度都比Kosaraju演算法更優秀，但是Kosaraju演算法在實現方面更加容易。

五、Kosaraju演算法原理

Kosaraju演算法的基本原理是將圖轉換為有向圖，並對其進行DFS，得到一個時間戳。將原始圖按照時間戳排序後，將每次啟動的DFS看作建立新的強連通分量。由於DFS的時候按照時間戳建立的，所以每個點被訪問時，都能夠訪問到所有滿足條件的節點，並且後進入當前強連通分量的節點要麼與其它點之間不存在路徑，要麼我們在迭代上次啟動DFS時已經加到當前強連通分量中了。

def kosaraju(graph):
    # 翻轉圖
    reversed_graph = reverse_graph(graph)
    # 對翻轉後的圖做一遍DFS，記下時間戳，也就是後序遍歷。
    reversed_order = dfs(reversed_graph)
    # 按照時間戳對原圖中的點排序
    sorted_nodes = sort_nodes_by_order(graph, reversed_order)     
    # 對原圖做一次DFS，每次啟動時所遇到的連通塊即建立了一個強連通分量
    components = []
    visited = set()
    for node in sorted_nodes:
        if node not in visited:
            component = set()
            dfs_visited(graph, node, visited, component)
            components.append(component)
    return components