笛卡爾直積php版的簡單介紹

本文目錄一覽：

• 1、笛卡爾積是什麼，詳細解答一下，最好再舉例
• 2、什麼是笛卡爾積?
• 3、什麼叫直積?什麼叫笛卡爾乘積?
• 4、笛卡爾積怎麼算。要過程
• 5、什麼是笛卡爾積？怎麼計算啊

笛卡爾積是什麼，詳細解答一下，最好再舉例

假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以擴展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。 [編輯本段]笛卡爾積的運算性質由於有序對x,y中x,y的位置是確定的，因此A×B的記法也是確定的，不能寫成B×A.

笛卡爾積也可以多個集合合成，A1×A2×…×An.

笛卡爾積的運算性質. 一般不能交換.

笛卡爾積，把集合A，B合成集合A×B，規定

A×B＝{x,y½xÎAÙyÎB}

在任意集合A上都可以定義笛卡爾積因為對任意兩個集合A和B，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合就是集合A和B的笛卡爾積．當集合A = B 時，笛卡爾積就記作A A． [編輯本段]推導過程給定一組域D1，D2，…，Dn，這些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡爾積為：

D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di∈Di，i＝1，2，…，n｝

所有域的所有取值的一個組合不能重複

例 給出三個域：

D1=SUPERVISOR ={ 張清玫，劉逸 }

D2=SPECIALITY={計算機專業，信息專業}

D3=POSTGRADUATE={李勇，劉晨，王敏}

則D1，D2，D3的笛卡爾積為D：

D=D1×D2×D3 ＝

｛(張清玫，計算機專業，李勇)，(張清玫，計算機專業，劉晨)，

(張清玫，計算機專業，王敏)，(張清玫，信息專業，李勇)，

(張清玫，信息專業，劉晨)，(張清玫，信息專業，王敏)，

(劉逸，計算機專業，李勇)，(劉逸，計算機專業，劉晨)，

(劉逸，計算機專業，王敏)，(劉逸，信息專業，李勇)，

(劉逸，信息專業，劉晨)，(劉逸，信息專業，王敏) ｝

這樣就把D1,D2,D3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。

本個例子中的D中就會有2X2X3個元素，如果一個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那麼新的集合就將是有無限個元素。 [編輯本段]序偶與笛卡爾積在日常生活中，有許多事物是成對出現的，而且這種成對出現的事物，具有一定的順序。例如，上，下；左，右；3〈4；張華高於李明；中國地處亞洲；平面上點的坐標等。一般地說，兩個具有固定次序的客體組成一個序偶，它常常表達兩個客體之間的關係。記作〈x，y〉。上述各例可分別表示為〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈張華，李明〉；〈中國，亞洲〉；〈a，b〉等。

序偶可以看作是具有兩個元素的集合。但它與一般集合不同的是序偶具有確定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但對序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。

設x，y為任意對象，稱集合｛｛x｝,｛x,y｝｝為二元有序組，或序偶（ordered pairs），簡記為x,y 。稱x為x,y的第一分量，稱y為第二分量。

定義3-4.1 對任意序偶a，b , c, d ,a，b = c, d 當且僅當a＝c且b = d 。

遞歸定義n元序組 a1，… , an

a1，a2 =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝

a1 , a2 , a3 = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝

= a1 , a2 , a3

a1，…an = a1，…an-1, an

兩個n元序組相等

a1，…an = b1，…bn Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)

定義3-4.2 對任意集合 A1，A2 , …，An，

（1）A1×A2，稱為集合A1，A2的笛卡爾積(Cartesian product)，定義為

A1 ×A2=｛x | $u $v(x = u,v∧u ÎA1∧vÎA2)｝=｛u,v | u ÎA1∧vÎA2｝

（2）遞歸地定義 A1 × A2× … × An

A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An

例題1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。

解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，β，3〉}

B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}

A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}

B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}

（A×B）Ç（B×A）=Æ

由例題1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ

我們約定若A=Æ或B=Æ，則A×B=Æ。

由笛卡爾定義可知：

（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}

={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}

A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}

由於〈a，〈b，c〉〉不是三元組，所以

（A×B）×C ≠A×（B×C）

定理3-4.1 設A, B, C為任意集合，*表示 È，Ç或 – 運算，那麼有如下結論：

笛卡爾積對於並、交差運算可左分配。即：

A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)

笛卡爾積對於並、交差運算可右分配。即：

(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)

¤ 當*表示 È時，結論（1）的證明思路:(討論敘述法)

先證明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 從x,y∈A×(BÈC)出發，推出x,y∈(A ×B) È (A×C)

再證明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)

從x,y∈(A×B) È (A×C)出發，推出x,y∈A×(BÈC)

當*表示 È時，結論（2）的證明思路:(謂詞演演算法) 見P-103頁。¤

定理3-4.2 設A, B, C為任意集合，若C ≠ F，那麼有如下結論：

AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤

定理前半部分證明思路 :(謂詞演演算法)

先證明AÍB Þ (A×CÍB×C)

以AÍB 為條件，從x,y∈A×C出發，推出x,y∈B×C

得出(A×CÍB×C)結論。

再證明(A×C ÍB×C) Þ AÍB

以C≠F為條件，從x∈A出發，對於y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B

得出(AÍB)結論。 見P-103頁。 ¤

定理3-4.3 設A, B, C, D為任意四個非空集合，那麼有如下結論：

A×B Í C×D的充分必要條件是AÍ C，BÍ D

¤證明思路:(謂詞演演算法)

先證明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D

對於任意的x∈A、y∈B，從x,y∈A×B出發，利用條件A×BÍ C×D， x,y∈C×D，推出x∈C， y∈D。

再證明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D

對於任意的x∈A、y∈B，從x,y∈A×B出發，推出x,y∈C×D。

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。設A、B是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

什麼是笛卡爾積?

笛卡爾積又叫笛卡爾乘積，是一個叫笛卡爾的人提出來的。

簡單的說就是兩個集合相乘的結果。

具體的定義去看看有關代數系的書的定義。

直觀的說就是

集合A{a1,a2,a3}

集合B{b1,b2}

他們的

笛卡爾積

是

A*B

={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}

任意兩個元素結合在一起

什麼叫直積?什麼叫笛卡爾乘積?

笛卡爾乘積

名稱定義

假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以擴展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。

笛卡兒積的運算性質

由於有序對x,y中x,y的位置是確定的，因此A×B的記法也是確定的，不能寫成B×A.

笛卡兒積也可以多個集合合成，A1×A2×…×An.

笛卡兒積的運算性質. 一般不能交換.

笛卡兒積，把集合A，B合成集合A×B，規定

A×B＝{x,y½xÎAÙyÎB}

推導過程

給定一組域D1，D2，…，Dn，這些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡爾積為：

D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di�8�3Di，i＝1，2，…，n｝

所有域的所有取值的一個組合不能重複

例 給出三個域：

D1=SUPERVISOR ={ 張清玫，劉逸 }

D2=SPECIALITY={計算機專業，信息專業}

D3=POSTGRADUATE={李勇，劉晨，王敏}

則D1，D2，D3的笛卡爾積為D：

D=D1×D2×D3 ＝

｛(張清玫，計算機專業，李勇)，(張清玫，計算機專業，劉晨)，

(張清玫，計算機專業，王敏)，(張清玫，信息專業，李勇)，

(張清玫，信息專業，劉晨)，(張清玫，信息專業，王敏)，

(劉逸，計算機專業，李勇)，(劉逸，計算機專業，劉晨)，

(劉逸，計算機專業，王敏)，(劉逸，信息專業，李勇)，

(劉逸，信息專業，劉晨)，(劉逸，信息專業，王敏) ｝

這樣就把D1,D2,D3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。

本個例子中的D中就會有2X2X3個元素，如果一個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那麼新的集合就將是有無限個元素。

序偶與笛卡爾積

在日常生活中，有許多事物是成對出現的，而且這種成對出現的事物，具有一定的順序。例如，上，下；左，右；3〈4；張華高於李明；中國地處亞洲；平面上點的坐標等。一般地說，兩個具有固定次序的客體組成一個序偶，它常常表達兩個客體之間的關係。記作〈x，y〉。上述各例可分別表示為〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈張華，李明〉；〈中國，亞洲〉；〈a，b〉等。

序偶可以看作是具有兩個元素的集合。但它與一般集合不同的是序偶具有確定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但對序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。

設x，y為任意對象，稱集合｛｛x｝,｛x,y｝｝為二元有序組，或序偶（ordered pairs），簡記為x,y 。稱x為x,y的第一分量，稱y為第二分量。

定義3-4.1 對任意序偶a，b , c, d ,a，b = c, d 當且僅當a＝c且b = d 。

遞歸定義n元序組 a1，… , an

a1，a2 =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝

a1 , a2 , a3 = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝

= a1 , a2 , a3

a1，…an = a1，…an-1, an

兩個n元序組相等

a1，…an = b1，…bn Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)

定義3-4.2 對任意集合 A1，A2 , …，An，

（1）A1×A2，稱為集合A1，A2的笛卡爾積(Cartesian product)，定義為

A1 ×A2=｛x | $u $v(x = u,v∧u ÎA1∧vÎA2)｝=｛u,v | u ÎA1∧vÎA2｝

（2）遞歸地定義 A1 × A2× … × An

A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An

例題1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。

解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，β，3〉}

B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}

A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}

B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}

（A×B）Ç（B×A）=Æ

由例題1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ

我們約定若A=Æ或B=Æ，則A×B=Æ。

由笛卡爾定義可知：

（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}

={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}

A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}

由於〈a，〈b，c〉〉不是三元組，所以

（A×B）×C ≠A×（B×C）

定理3-4.1 設A, B, C為任意集合，*表示 È，Ç或 – 運算，那麼有如下結論：

笛卡爾積對於並、交差運算可左分配。即：

A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)

笛卡爾積對於並、交差運算可右分配。即：

(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)

¤ 當*表示 È時，結論（1）的證明思路:(討論敘述法)

先證明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 從x,y∈A×(BÈC)出發，推出x,y∈(A ×B) È (A×C)

再證明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)

從x,y∈(A×B) È (A×C)出發，推出x,y∈A×(BÈC)

當*表示 È時，結論（2）的證明思路:(謂詞演演算法) 見P-103頁。¤

定理3-4.2 設A, B, C為任意集合，若C ≠ F，那麼有如下結論：

AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤

定理前半部分證明思路 :(謂詞演演算法)

先證明AÍB Þ (A×CÍB×C)

以AÍB 為條件，從x,y∈A×C出發，推出x,y∈B×C

得出(A×CÍB×C)結論。

再證明(A×C ÍB×C) Þ AÍB

以C≠F為條件，從x∈A出發，對於y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B

得出(AÍB)結論。 見P-103頁。 ¤

定理3-4.3 設A, B, C, D為任意四個非空集合，那麼有如下結論：

A×B Í C×D的充分必要條件是AÍ C，BÍ D

¤證明思路:(謂詞演演算法)

先證明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D

對於任意的x∈A、y∈B，從x,y∈A×B出發，利用條件A×BÍ C×D， x,y∈C×D，推出x∈C， y∈D。

再證明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D

對於任意的x∈A、y∈B，從x,y∈A×B出發，推出x,y∈C×D。

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。設A、B是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

笛卡爾積怎麼算。要過程

笛卡爾乘積是指在數學中，兩個集合X和Y的笛卡爾積，又稱直積，表示為X×Y，第一個對象是X的成員而第二個對象是Y的所有可能有序對的其中一個成知員，而笛卡爾乘積的具體演算法及過程如下：

設A,B為一個集合，將A中的元素作為第一個元素，B中的元素作為第二個元素，形成有序對。所有這些有序對都由一個稱為a和B的笛卡爾積的集合組成，並被記錄為AxB。

擴展資料：

笛卡爾乘積中專業符號的意義

1、「∈」是數學中的一種符號。讀作「內屬於」。如果∈a，那麼a屬於集合a，a是集合a中的元素．．當你在數學上讀這個符號時，你可以直接用「歸屬」這個詞來表達它。

2、∧，稱為合取，就是邏輯與，例如，當且僅當P∧Q均為真（T），其餘均為假（F）時，P為真。

3、∨，被稱為分離，邏輯或，例如：P∨Q，當且僅當P和Q到F同時，結果為假，其餘為真。

4、┐為邏輯非容

什麼是笛卡爾積？怎麼計算啊

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以擴展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。