整數的因子包含自身嗎

本篇文章將從數學概念的角度、常用算法的應用、程序實現的方法等多個方面，對整數的因子包含自身的問題進行詳細闡述。

一、質因數分解法

將整數進行質因數分解，若分解結果中所有質因子的指數都不為0，則該整數的因子包含自身；否則，不包含自身。這一方法的時間複雜度為O(log(n))。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> PrimeFactors(int n) {
    vector<int> factors; //存儲質因數
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        while (n % i == 0) {
            factors.push_back(i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) factors.push_back(n); //n為質數時也要記錄
    return factors;
}

bool ContainsSelf(int n) {
    vector<int> factors = PrimeFactors(n);
    vector<bool> used(factors.size(), false); //標記數組，初始均為false
    for (int i = 0; i < factors.size(); ++i) {
        for (int j = i + 1; j < factors.size(); ++j) {
            if (factors[j] % factors[i] == 0) used[j] = true; //factors[j]包含factors[i]，標記j
        }
    }
    for (int i = 0; i < factors.size(); ++i) {
        if (!used[i]) return true; //如果有質因子未被標記，說明包含自身
    }
    return false;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    if (ContainsSelf(n)) cout << n << "的因子包含自身。";
    else cout << n << "的因子不包含自身。";
    return 0;
}

二、暴力算法

對於一個整數n，從1到n-1不斷枚舉它的因子，如果它的因子中包含n本身，則說明它的因子包含自身。時間複雜度為O(nlog(n))。

#include <iostream>
using namespace std;

bool ContainsSelf(int n) {
    int sum = 0; //因子之和
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (n % i == 0) sum += i;
    }
    return (sum % n == 0);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    if (ContainsSelf(n)) cout << n << "的因子包含自身。";
    else cout << n << "的因子不包含自身。";
    return 0;
}

三、素數判定法

如果一個整數n為素數，並且(n-1)可以被4整除，則n的因子包含自身。這一方法的時間複雜度為O(sqrt(n))。

#include <iostream>
using namespace std;

bool IsPrime(int n) { //素數判定函數
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

bool ContainsSelf(int n) {
    if (!IsPrime(n)) return false;
    int m = n - 1;
    while (m % 2 == 0) m /= 2; //計算(n-1)/2^k
    return (m % 4 == 0); //(n-1)/2^k能否被4整除
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    if (ContainsSelf(n)) cout << n << "的因子包含自身。";
    else cout << n << "的因子不包含自身。";
    return 0;
}

四、結語

本文介紹了三種判斷整數的因子是否包含自身的方法。其中，質因數分解法時間複雜度相對較低，且易於實現；暴力算法雖然代碼簡單，但時間複雜度較高，不適合處理大型數據；素數判定法則更適用於判斷較大的整數。具體使用時，建議根據具體的需求和數據規模選擇合適的方法。