二分查找時間複雜度為什麼是logN – 知乎

二分查找是一種常用的查找算法。它通過將目標值與數組的中間元素進行比較，從而將查找範圍縮小一半，直到找到目標值。這種方法的時間複雜度為O(logN)。下面我們將從多個方面探討為什麼二分查找的時間複雜度是O(logN)。

一、二分查找的基本原理

二分查找的核心思想是每次將查找區域縮小為原來的一半。假設要在有序數組中查找一個元素，每次可以選擇將剩餘數組的中間元素與目標元素進行比較。如果目標元素小於中間元素，則可以將查找區域縮小到數組的左半邊；如果目標元素大於中間元素，則可以將查找區域縮小到數組的右半邊。

int binary_search(int[] nums, int target){
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while(left <= right){
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target){
            return mid;
        }else if(nums[mid] > target){
            right = mid - 1;
        }else{
            left = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

二、時間複雜度推導

對於二分查找，每次都將查找區域縮小為原來的一半，因此需要執行$log_2N$次才能找到目標元素，其中N是數組的長度。因此，時間複雜度為O(logN)。

三、使用二分查找的前提條件

為了能夠使用二分查找，必須滿足以下條件：

1. 目標數組必須是有序的
2. 元素類型必須支持比較操作（例如數字或字符串）

四、二分查找的局限性

雖然二分查找是一種高效的查找算法，但是它也有一些局限性：

1. 只能用於靜態數據結構，無法用於動態數據結構
2. 需要有序數組，如果原來的數組沒有排序，則需要先進行排序操作
3. 對內存要求比較高，需要連續的內存空間

五、二分查找的應用

二分查找在計算機科學中有着廣泛的應用：

1. 查找：在有序數組中查找一個元素。
2. 插入：在有序數組中插入一個元素，仍保持有序。
3. 刪除：在有序數組中刪除一個元素，仍保持有序。
4. 近似查找：查找一個最接近給定值的元素。
5. 區間查找：查找某個區間內的所有元素，也可以用於計算逆序對等問題。

六、總結

二分查找是一種高效的查找算法，它的時間複雜度為O(logN)，能夠用於靜態數組中元素的查找、插入和刪除等操作。但是，為了保證二分查找的正確性，必須滿足目標數組有序、元素可比較等前提條件。此外，二分查找也有一些局限性，需要結合實際應用場景選擇最適合的算法。