Python動態規劃詳解

一、什麼是動態規劃？

1、動態規劃基本思想

動態規劃是一種多階段決策最優化模型，用來解決最長路徑、最短路徑、背包問題等，一般用於優化問題。動態規劃涉及到搜索、最優化與存儲，使用備忘錄技術降低時間複雜度。在求解問題的過程中，動態規劃方法把原問題分解成多個子問題，遞歸求解子問題，在進行逐步求解的過程中，保存每一個子問題的解，最終得到原問題的最優解。

2、動態規劃適用範圍

動態規劃適用於滿足最優化原理和無後效性的問題。最優化原理指的是全局最優解包含局部最優解，無後效性指的是子問題的最優解可以得到父問題的最優解。

3、動態規劃步驟

動態規劃步驟主要包括問題抽象、狀態設計、狀態轉移方程設計以及實現。通常設計狀態轉移方程是實現動態規劃的核心步驟，狀態轉移方程有時需要使用高級數據結構，比如哈希表、優先隊列等。

二、Python實現動態規劃

1、Python語言優缺點

Python語言具有靈活易用、語言簡單、入門門檻低等特點，具有良好的文檔，是人工智能、Web開發等領域的首選語言。Python語言對於動態規劃的實現，由於其語言易用性良好，因此很多實際問題在Python語言中可以快速解決。

2、Python代碼示例

def fib(n: int) -> int:
    if n < 2:
        return n
    pre, cur = 0, 1
    for i in range(2, n + 1):
        tmp = cur
        cur += pre
        pre = tmp
    return cur

代碼示例是斐波那契數列的實現，當然這個實現的遞推式真簡單：F[i] = F[i-1] + F[i-2]，但是實際上，對於許多實際問題，可能需要用比較高級的數據結構，比如dp數組、哈希表等，因此更多時候Python的實現並不一定比其他語言效率高。

三、Python動態規劃實踐案例1：背包問題

1、背包問題基本思想

背包問題是最常見的動態規劃模型之一，背包問題以選取物品的最大價值之和為目標，常見有完全背包問題、多重背包問題、01背包問題等。

2、Python代碼示例

def knapsack_01(k: int, v: List[int], w: List[int], n: int) -> int:
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            if j < w[i - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])
    return dp[n][k]

代碼示例是01背包問題的動態規劃實現，其中k為背包大小，v為物品價值數組，w為物品重量數組，n為物品個數。

四、Python動態規劃實踐案例2：最長公共子序列

1、最長公共子序列基本思想

最長公共子序列是指兩個字符串中的最長公共的子序列，可以用於比較兩個字符串的相似度，也可以用於基因序列比對等領域；同時也是最常見的動態規劃模型之一。

2、Python代碼示例

def LCS(s1: str, s2: str) -> int:
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[m][n]

代碼示例是最長公共子序列的動態規劃實現，對於兩個字符串s1、s2，返回它們的最長公共子序列長度。

五、總結

本文詳細闡述了Python動態規劃，介紹了動態規劃基本思想及步驟，對Python語言的優缺點進行了系統分析，並舉了背包問題、最長公共子序列兩個具體案例進行了闡述，從多個維度全面解釋Python動態規劃的實現。