馬氏距離計算實例詳解

馬氏距離是一種常見的數據分析算法，主要用於測量兩個樣本集的相似度。相較於歐幾里得距離，馬氏距離考慮了不同特徵之間的相關性，並使用協方差矩陣來對特徵進行權重調整。本文將深入探討如何使用Python計算馬氏距離，並介紹一些應用場景。

一、基本概念

馬氏距離的計算涉及多個數學概念，下面我們對這些概念進行簡要介紹。

1.樣本標準差

樣本標準差（Sample Standard Deviation）是一種測量數據離散程度的統計量，計算公式如下：

def sstd(arr):
    avg = sum(arr) / len(arr)
    return (sum([(i-avg)**2 for i in arr]) / (len(arr) - 1)) ** 0.5

上面的代碼實現了樣本標準差的計算，其中arr為數據集。

2.樣本協方差矩陣

樣本協方差矩陣（Sample Covariance Matrix）是一種測量不同特徵之間相關性的矩陣。如果數據集中某兩個特徵的協方差大於0，則說明這兩個特徵是正相關的，反之則是負相關的。

import numpy as np

def scov(x):
    return np.cov(x, rowvar=False)

上面的代碼實現了樣本協方差矩陣的計算，其中x為數據集。

3.馬氏距離

馬氏距離（Mahalanobis Distance）是一種基於協方差矩陣的距離度量，計算公式如下：

d_M(x, y) = [(x – y)^T S^-1 (x – y)]^1/2

其中x和y分別為兩個樣本，S為協方差矩陣。在計算中需要將協方差矩陣的逆矩陣作為權重加入計算。具體代碼實現如下：

def mdist(x, y, s):
    diff = x - y
    return np.sqrt(np.dot(np.dot(diff, np.linalg.inv(s)), diff.T))

二、應用場景

馬氏距離的應用場景非常廣泛，下面我們介紹其中幾個典型場景。

1.異常檢測

在異常檢測中，我們可以使用馬氏距離來判斷某個樣本是否偏離了正常範圍。具體實現時，可以先通過正常樣本計算協方差矩陣，並以此作為權重來計算其他樣本的馬氏距離。距離超過一定閾值的樣本可以被視為異常樣本。下面是一個簡單的實現：

def outlier_detect(data, threshold):
    s = scov(data)
    avg = np.mean(data, axis=0)
    distances = np.array([mdist(d, avg, s) for d in data])
    return np.where(distances > threshold)

2.模式識別

在模式識別中，我們可以使用馬氏距離來度量樣本與內部聚類的相似度。具體實現時，可以將同一個類別的樣本視為一個簇，以簇的中心作為代表向量來計算相似度。下面是一個簡單的實現：

def k_means(data, k):
    centers = data[:k]
    while True:
        clusters = [[] for _ in range(k)]
        for d in data:
            distances = [mdist(d, c, scov(data)) for c in centers]
            index = np.argmin(distances)
            clusters[index].append(d)
        new_centers = np.array([np.mean(c, axis=0) for c in clusters])
        if np.allclose(centers, new_centers):
            break
        centers = new_centers
    return clusters

三、總結

本文介紹了馬氏距離的基本概念和應用場景，大大降低了算法的使用門檻。如果您想深入學習機器學習和數據分析，不妨嘗試使用馬氏距離來提高自己的技能水平。