相機模型

相機模型是計算機視覺領域中的一個重要概念，它描述了相機如何將三維空間中的物體投影到二維平面上。了解相機模型對於進行投影變換、計算相機參數、三維重建等任務具有重要意義。

一、針孔相機模型

針孔相機模型是最簡單的相機模型，它假設相機是一個小孔，通過這個小孔將物體上的光線投影到相機背後的平面上。這個小孔也稱為針孔。

對於針孔相機模型，我們需要考慮如下幾個參數：

內參矩陣 K：包含了焦距、主點、畸變等信息，描述了相機內部的幾何特徵。

外參矩陣 R 和 t：描述了相機在世界坐標系下的位置和方向信息，即用於將相機坐標系下的點轉化到世界坐標系下。

畸變參數 d：描述了圖像採集中產生的光學畸變，這些畸變會導致圖像中的物體出現形變。

// 針孔相機模型的內部參數 K
K = [fx, 0, cx;
     0, fy, cy;
     0, 0,  1]

// 針孔相機模型的外部參數 R 和 t
[R | t]

// 針孔相機的畸變參數 d
d = [k1, k2, p1, p2, k3, k4, k5, k6]

二、透視相機模型和正交相機模型

1. 透視相機模型

透視相機模型和針孔相機模型一樣，也是將物體上的光線投影到二維平面上，但是透視相機模型假設相機的鏡頭是扁平的，它產生的投影效果更逼真。透視相機模型常用於計算機遊戲、虛擬現實等場景。

透視相機模型需要考慮的參數與針孔相機模型相似，但是需要增加一個參數，即視角（也稱為視場角 FOV）。

// 透視相機模型的內部參數 K
K = [fx, 0, cx;
     0, fy, cy;
     0, 0,  1]

// 透視相機模型的外部參數 R 和 t
[R | t]

// 透視相機的畸變參數 d
d = [k1, k2, p1, p2, k3, k4, k5, k6]

// 視角
FOV = 2 * arctan(h / (2 * f))

2. 正交相機模型

正交相機模型和透視相機模型不同，它不會產生遠近關係的效果，即無論物體到相機的距離遠近，投影到圖像上的大小是不變的。正交相機模型常用於計算機視覺中的圖像處理任務，如二值化、邊緣檢測等。

正交相機模型需要考慮的參數與針孔相機模型相似，但是不需要視角這一參數。

// 正交相機模型的內部參數 K
K = [sx, 0,   cx;
     0,  sy,  cy;
     0,  0,   1]

// 正交相機模型的外部參數 R 和 t
[R | t]

// 正交相機的畸變參數 d
d = [k1, k2, p1, p2, k3, k4, k5, k6]

三、相機標定

相機標定是指確定相機模型參數的過程，其目的是準確獲取相機在現實中的幾何特性，從而使得圖像計算更為準確。相機標定的方法通常分為內部標定和外部標定兩個部分。

1. 相機內參標定

相機內參標定的目的是求出相機的內部參數矩陣 K，包括焦距、主點、畸變等信息。

相機內參標定需要拍攝一組已知世界坐標的標定板圖片，通過計算標定板的三維坐標和二維坐標的對應關係，求出內參矩陣 K。

// 相機內參標定的代碼示例
// 採用 OpenCV 中的函數進行標定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)

2. 相機外參標定

相機外參標定的目的是求出相機的外部參數矩陣 R 和 t，描述了相機在世界坐標系下的位置和方向信息。

相機外參標定需要使用已知世界坐標的物體，拍攝相機和物體在不同位置的圖片，然後通過計算物體的三維坐標和圖片中的二維坐標的對應關係，求出相機的外部參數。

// 相機外參標定的代碼示例
// 採用 OpenCV 中的函數進行標定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.solvePnP(objp, corners, mtx, dist)

3. 相機完整標定

相機完整標定指的是同時對相機內參和外參進行標定，並且還需要進一步求解畸變參數。

相機完整標定需要使用已知世界坐標的物體，拍攝相機和物體在不同位置的圖片，然後通過計算物體的三維坐標和圖片中的二維坐標的對應關係，求出相機的內參、外參和畸變參數。

// 相機完整標定的代碼示例
// 採用 OpenCV 中的函數進行標定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)
newcameramtx, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx, dist, (w, h), 1, (w, h))

四、結論

相機模型是計算機視覺領域中的一個重要概念，了解相機模型對於進行投影變換、計算相機參數、三維重建等任務具有重要意義。相機模型通常分為針孔相機模型、透視相機模型和正交相機模型三類。在使用相機進行視覺任務時，需要對相機進行標定，以求得準確的內參、外參和畸變參數。相機標定的目的是確定相機在現實中的幾何特性，從而使得圖像計算更為準確。