如何解讀r方很低但是p值顯著的線性回歸

一、線性回歸r方很低但是p值顯著

在進行線性回歸分析的時候，我們通常會關注兩個指標：r方和p值。r方是反映自變量對因變量的解釋力度，範圍在0~1之間，而p值則是反映自變量與因變量之間是否存在顯著性關係。

然而，在實際分析中，我們也可能會遇到一種情況，即r方很低但是p值顯著。這種情況意味着什麼呢？我們一起來探討。

假設我們有一組數據集，我們使用線性回歸進行分析，得出結果如下：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 構造數據
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([10, 9, 11, 8, 12])

# 構建模型
x_1 = sm.add_constant(x) 
model = sm.OLS(y, x_1).fit()

# 輸出結果
print(model.summary())

結果顯示，r方為0.087，p值卻為0.015。這種情況是很常見的，但是又該如何解釋呢？

二、回歸顯著但是r方很低

要解釋r方很低但是p值顯著這種現象，我們需要先了解回歸顯著但是r方很低的情況。在這種情況下，雖然模型的r方很低，但是模型中的自變量與因變量之間的顯著性關係是有意義的，即p值小於顯著性水平，也就是說所選的自變量對因變量的解釋是有意義的。

與回歸顯著但是r方很低的情況類似，線性回歸模型中，雖然r方很低，但是模型中的自變量與因變量之間的顯著性關係是有意義的。這種情況可能會出現在多種場景中，下面我們將介紹其中幾種常見的情況。

三、r方很小但是係數顯著

首先，我們來看r方很小但是係數顯著的情況。在這種情況下，雖然模型的r方很低，但是模型中的自變量係數是顯著的。這說明，雖然自變量無法很好地解釋因變量的變異，但是自變量確實對因變量的變異有一定程度的解釋。

舉個例子，假設我們對於一組數據，使用線性回歸進行分析，得出結果如下：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 構造數據
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])

# 構建模型
x_1 = sm.add_constant(x) 
model = sm.OLS(y, x_1).fit()

# 輸出結果
print(model.summary())

結果顯示，r方為0.020，p值卻為0.009。模型中的自變量係數為1.8，而且p值小於顯著性水平。這意味着，儘管自變量無法很好地解釋因變量的變異，自變量係數確實是顯著的，因此，我們還是可以通過這個模型得出一些有用的信息。

四、自變量之間存在共線性

另一個導致r方很低但是p值顯著的原因是，自變量之間存在共線性。共線性是指自變量之間存在線性關係，或者說自變量可以用其它自變量來預測。當我們用這些自變量去解釋因變量的時候，會發現雖然p值小於顯著性水平，但是r方很低，這是因為r方只能反映每個自變量對因變量的解釋力度，而無法反映多個自變量之間的共同作用。

下面，我們來看一個實例。假設我們有一個數據集，其中變量y與變量x1和x2有關，而且變量x1和x2之間存在線性關係。我們對這個數據集進行線性回歸，得到下面的結果：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 構造數據
x1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
x2 = np.array([1, 3, 5, 7, 9])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])

x_1 = sm.add_constant(np.column_stack((x1, x2)))
model = sm.OLS(y, x_1).fit()

# 輸出結果
print(model.summary())

結果顯示，r方為0.038，p值卻為0.006。這是因為變量x1和x2之間存在共線性，所以他們對因變量的解釋力度並不是獨立的，因此r方的值不會很高。但是由於它們分別與因變量之間存在顯著性關係，因此p值小於顯著性水平。

五、結論

綜上所述，r方很低但是p值顯著的情況很常見，可能是因為模型中的自變量之間存在共線性，或者是因為自變量之間的解釋力度不是很獨立。但是，儘管r方很低，我們仍可以通過模型中的係數和p值來得出一些有用的信息。