MDS降維

一、理論基礎

Multidimensional Scaling（MDS）是一種非常流行的降維算法。它是一種將高維數據降至低維的方法，通常用於可視化高維數據。MDS算法根據數據之間的相似性、距離或度量值將高維數據映射到低維空間。其中，相似性或度量值可以由任何形式的數據表示。

MDS算法提供兩種降維方式：Metric MDS和Nonmetric MDS。

二、算法分析

Metric MDS

Metric MDS是一種在低維空間中將數據之間的距離與高維空間中的距離近似匹配的降維方法。因此可以保留原始特徵向量的大部分信息，高保真度地還原數據之間的距離矩陣。具體步驟如下:

{
   1.計算每兩個樣本點之間的歐氏距離 d[i][j]。
   2.將一部分原始數據高維空間中的距離矩陣(d[i][j])矩陣保存下來。
   3.計算低維空間中每個樣本點之間的歐氏距離 D[i][j]。 
   4.在低維空間中計算樣本數據的歐氏距離矩陣D，使得D與高維空間中的距離矩陣d的差異最小。 
   5.通過最小化矩陣對角線上元素之和Σ(i=1,n) d[i][i]與D[i][i]的差異，來確定了最佳實現，其中的n代表了樣本集的大小。
}

Nonmetric MDS

與Metric MDS不同，Nonmetric MDS的目標是求出低維空間中數據的「序列」，並且與高維空間中的「序列」相匹配，其僅僅只是統計了各個數據點之間的相對距離，而沒有考慮數據點之間的絕對距離。

三、代碼實現

下面是Python中使用MDS進行降維的示例代碼：

{
import numpy as np
from sklearn.manifold import MDS

#構造高維數據集
data = np.array([
    [1.0, 0, 0, 0],
    [0, 1.0, 0, 0],
    [0, 0, 1.0, 0],
    [0, 0, 0, 1.0]
])

# 使用MDS對數據進行二維降維
mds = MDS(n_components=2)
result = mds.fit_transform(data)

print(result)
}

四、應用場景

MDS降維算法可以應用於各個領域，比如最近鄰搜索、聚類、可視化、建模等等。在數據挖掘和機器學習中，MDS算法經常用於可視化多維數據。在工程和其他應用領域，MDS算法通常用於構建仿真和系統模型等方面。