2022美賽e題全方位分析

一、題意介紹

2022美賽e題，是一道經典的網絡流算法題目，考察的是多源匯最小費用最大流問題。題目中給出一個有向帶權圖，其中每條邊都有最大容量和單位費用。還給出了n個源點和n個匯點，要求從源點送n個單位的流量到匯點，每個源點只能送1個單位的流量，匯點也只能接收1個單位的流量。求在滿足這個條件的前提下，最小化發送費用。

這道題目看上去比較複雜，但是只要掌握了相關的算法和思路，就可以簡單高效地解決。下面分別從網絡流、費用流、Dijkstra算法和多源匯問題四個方面進行詳細分析。

二、網絡流

網絡流算法是指在一個圖中尋找一條從源點到匯點的路徑，使得路徑中所有邊的權值之和最小（或最大）。網絡流算法中比較經典的有 Ford-Fulkerson 算法，Dinic 算法，Edmonds-Karp算法 等。

1、Ford-Fulkerson算法

首先介紹一下最簡單的算法，Ford-Fulkerson算法，它是由 Lester R. Ford Jr 和 Delbert R. Fulkerson 於1956年提出的。

// Ford-Fulkerson算法偽代碼
while (未滿流路徑存在) {
    找到一條增廣路;
    更新殘量網絡;
}

其中，增廣路就是在殘量網絡上找到一條從源點到匯點的路徑，使得路徑上所有邊的剩餘容量都大於0。找到增廣路之後，就可以通過對路徑上所有邊進行調整，將從源點到匯點的流增加一點。

2、Dinic算法

Dinic算法是由Yefim Dinitz在1970年發明的一種算法，它在效率上比Ford-Fulkerson算法更高，並且廣泛應用於實際生產中。

// Dinic算法偽代碼
while (分層圖中存在從起點到終點的增廣路) {
    通過BFS構建分層圖;
    對於每條增廣路徑進行優化;
}

在Dinic算法中，利用BFS的方式進行層次分解，快速找到從起點到終點的增廣路徑。然後再對每一條增廣路徑進行優化，最終得到最大流大小和最小割的值。

三、費用流

費用流問題指的是找到一條從源點到匯點的路徑，使得路徑上所有邊的流量都大於等於0，同時使得路徑上所有邊的費用之和最小或最大。

1、最大費用最大流問題

最大費用最大流問題，可以看做是最小費用最大流問題的反向問題，可以使用Dinic算法進行求解。具體思路是將圖中的所有費用取負，然後求解最小費用最大流問題。

// 最大費用最大流問題偽代碼
while (殘量網絡中存在一條從起點到終點的增廣路) {
    通過BFS構建分層圖;
    對於每條增廣路徑進行優化（增加流量、減少費用）;
}
得到輸出結果。

2、最小費用最大流問題

最小費用最大流問題是指在求一個網絡的最大流的同時使流量的費用最小。該問題可以通過將源點向圖中各頂點中新增一個超級源點，匯點向各頂點中新增一個超級匯點，從超級源點向原始源點連一條費用為0，容量為1的邊，從原始匯點向超級匯點連一條費用為0，容量為1的邊。這樣就可以將原問題轉化為一般的最小費用最大流問題了，可以使用SPFA、Bellman-Ford或Dijkstra算法進行求解。

四、Dijkstra算法

Dijkstra算法是由荷蘭計算機科學家Edsger W. Dijkstra在1956年發明，用於解決帶權有向圖或無向圖的單源最短路徑問題。其基本思想是貪心，每一次找到一個距離源點最近的未標記頂點，並將其標記，然後根據這個頂點的出邊更新與它直接相鄰的頂點到源點的距離。

// Dijkstra算法偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    dist[i] = inf;
    vis[i] = false;
}
dist[s] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    int minDist = inf, u = -1;
    for (j=1; j dist[j]) {
            minDist = dist[j];
            u = j;
        }
    }
    if (u == -1) break;
    vis[u] = true;
    for (int k=head[u]; k; k=edge[k].next) {
        int v = edge[k].to;
        if (dist[v] > dist[u] + edge[k].w) {
            dist[v] = dist[u] + edge[k].w;
        }
    }
}

五、多源匯問題

多源匯問題指的是給定一個有向圖中，存在多個源點和多個匯點，要求從源點到匯點傳輸一定數量的流量，同時存在一定的源點-匯點流量約束條件。

多源匯問題可以轉化為最小費用最大流問題，具體做法是將源點向匯點連一條容量為1，費用為0的邊，然後通過建立超級源點和超級匯點的方式，將多個源點和多個匯點轉化為單個源點和匯點的方式，再進行求解。

// 多源匯問題偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    add_edge(s, i, 1, 0);
    add_edge(i+n, t, 1, 0);
    for (j=1; j<=n; j++) {
        int cost;
        scanf("%d", &cost);
        add_edge(i, j+n, 1, cost);
    }
}
int flow, cost;
min_cost_flow(s, t, INF, flow, cost);
printf("%d\n", cost);

六、總結

綜上所述，2022美賽e題是一道操作難度較高的網絡流算法題目，考察了多種經典的算法和思路，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、費用流算法、Dijkstra算法和多源匯問題。對於學習者來說，需要多加練習，深入理解每個算法的思想和實現方式，在實踐中不斷提高調試和優化的能力，才能真正掌握這些知識點。