非支配排序遺傳算法詳解

一、NSGA算法簡介

非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA）是將遺傳算法的種群個體按照它們的優先級進行分類排序，使得較優的個體能夠被更好地保存下來，同時保留種群中的多樣性。它首先通過非支配排序將種群分為多個層級，然後在每一層級中根據擁擠度算法對個體進行排序，以維護每一個層級中的多樣性。

下面是一段使用NSGA算法進行多目標優化的Python示例代碼：

def nsga(population, generations, crossover_rate, mutation_rate):
    for gen in range(generations):
        offspring = []
        for i in range(len(population)):
            # 選擇兩個父代
            parent1 = selection(population)
            parent2 = selection(population)

            # 對兩個父代進行雜交
            child = crossover(parent1, parent2, crossover_rate)

            # 對後代進行變異操作
            child = mutation(child, mutation_rate)

            # 將後代添加到下一代種群中
            offspring.append(child)

        # 合併父代和後代種群
        population = population + offspring

        # 對種群進行非支配排序和擁擠度排序
        fronts = non_dominated_sorting(population)
        sorted_population = sort_by_crowding_distance(population, fronts)

        # 選擇下一代種群
        population = sorted_population[:len(population)]

    return population

二、NSGA算法的非支配排序

NSGA算法的關鍵在於如何對種群進行非支配排序。給定一組個體，非支配排序將它們分為多個層級，每一層級中的個體都是相對於同一層級中的其他個體來說非支配的。具體步驟如下：

1、計算每一個個體的支配關係，即如果一個個體在某一個目標函數上比另一個個體更好，則該個體支配另一個個體。

2、根據支配關係得到第一層級中的非支配解集合，同時將支配第一層級中的個體進行標記。

3、重複地對每一層級進行處理，直到沒有非支配解為止。在處理每一層級時，需要將上一層級中所有被標記的個體排除，並將下一層級中所有新加入的非支配解通過擁擠度算法進行排序，以避免個體聚攏。

下面是非支配排序的代碼實現：

def non_dominated_sorting(population):
    fronts = []
    n = [0]*len(population)
    rank = [0]*len(population)
    S = [[] for i in range(len(population))]
    fronts.append([])

    for p in range(len(population)):
        S[p] = []
        n[p] = 0
        for q in range(len(population)):
            if population[p].dominates(population[q]):
                S[p].append(q)
            elif population[q].dominates(population[p]):
                n[p] = n[p] + 1
        if n[p] == 0:
            rank[p] = 0
            fronts[0].append(p)

    i = 0
    while len(fronts[i]) != 0:
        Q = []
        for p in fronts[i]:
            for q in S[p]:
                n[q] = n[q] - 1
                if n[q] == 0:
                    rank[q] = i + 1
                    Q.append(q)
        i += 1
        fronts.append(Q)

    return fronts[:-1]

三、NSGA算法的擁擠度排序

在計算完每個個體的非支配級別之後，我們需要對每層內的個體進行排序，以便於選擇個體生成下一代種群。通常使用擁擠度距離來實現排序，擁擠度表示一個個體周圍有多少個個體與其距離相似。在選擇下一代種群時，我們希望不僅保留靠前的非支配解，還要儘可能多地保留多樣性。因此，當選擇靠前的非支配解時，我們傾向於選擇擁擠度高的個體，這些個體周圍有很多其他個體，說明它們距離其他個體比較遠，因此保留它們能夠維護多樣性。

下面是擁擠度排序的代碼實現：

def crowding_distance_assignment(population):
    n = len(population)
    for individual in population:
        individual.crowding_distance = 0

    for m in range(len(population[0].fitness)):
        sorted_population = sorted(population, key=lambda x: x.fitness[m])
        sorted_population[0].crowding_distance = sorted_population[n-1].crowding_distance = inf
        for i in range(1, n-1):
            sorted_population[i].crowding_distance += sorted_population[i+1].fitness[m] - sorted_population[i-1].fitness[m]

    for individual in population:
        individual.crowding_distance /= len(population)

四、NSGA算法的應用舉例

下面是一段使用NSGA算法進行多目標優化的Python示例代碼，通過調整鏈表的長度和寬度來優化鏈表的布局效果：

class LayoutIndividual:
    def __init__(self, length, width):
        self.length = length
        self.width = width
        self.fitness = []

    def evaluate_fitness(self):
        # 計算適應度
        self.fitness = [self.length, self.width]

    def dominates(self, other):
        # 判斷支配關係
        return self.length <= other.length and self.width <= other.width and (self.length < other.length or self.width < other.width)

def layout_optimization(objective_functions, max_generations):
    # 初始化種群
    population = [LayoutIndividual(randint(1, 10), randint(1, 10)) for i in range(30)]

    for gen in range(max_generations):
        # 計算適應度
        for individual in population:
            individual.evaluate_fitness()

        # 對種群進行非支配排序和擁擠度排序
        fronts = non_dominated_sorting(population)
        for i, front in enumerate(fronts):
            crowding_distance_assignment(front)
            for j, individual in enumerate(front):
                individual.rank = i
                individual.distance = individual.crowding_distance

        # 選擇下一代種群
        next_population = []
        for i in range(30):
            p1 = random.choice(population)
            p2 = random.choice(population)
            child = LayoutIndividual(p1.length, p2.width)
            next_population.append(child)

        population = next_population

    return population