聚類問題探究

一、聚類算法概述

聚類是一種無監督學習方法，其目標是將相似的數據樣本自動分組到若干個類別中。聚類分析廣泛應用於數據挖掘、圖像分析、信號處理等領域。

聚類算法大致可以分為以下幾類：

• 層次聚類算法（Hierarchical Clustering）
• 劃分聚類算法（Partitioning Clustering）
• 基於密度的聚類算法（Density-based Clustering）
• 基於網格的聚類算法（Grid-based Clustering）
• 模型聚類算法（Model-based Clustering）

下面我們以K-means算法為例進行介紹。

二、K-means算法

K-means算法是一種基於劃分的聚類算法，其主要思想是將所有數據點劃分到K個集群中，使得同一集群內的樣本點是相似的，不同集群內的樣本點是不相似的。K-means算法的具體過程如下：

1. 隨機選取K個數據點作為初始的聚類中心；
2. 計算所有數據點到聚類中心的距離，將其歸為距離最近的聚類中心所在的集群內；
3. 計算每個集群的重心，作為新的聚類中心；
4. 重複步驟2和3，直至滿足收斂條件。

下面是K-means算法的代碼實現：

import numpy as np

class KMeans:
    def __init__(self, k=3, max_iters=100):
        self.K = k
        self.max_iters = max_iters

    def fit(self, X):
        self.centroids = X[np.random.choice(len(X), self.K, replace=False)]
        for i in range(self.max_iters):
            clusters = [[] for _ in range(self.K)]
            for x in X:
                distances = [np.linalg.norm(x-c) for c in self.centroids]
                cluster_idx = np.argmin(distances)
                clusters[cluster_idx].append(x)
            prev_centroids = self.centroids
            self.centroids = [np.mean(cluster, axis=0) for cluster in clusters]
            if np.all(prev_centroids == self.centroids):
                break
        self.labels = np.zeros(len(X))
        for i, cluster in enumerate(clusters):
            for x in cluster:
                self.labels[X.tolist().index(x.tolist())] = i
        return self.labels

三、K-means算法應用舉例

以下是一個簡單的數據集，其中包含了40個樣本點：

import matplotlib.pyplot as plt

data = np.vstack(((np.random.randn(10, 2) * 0.75 + np.array([1, 0])),
                  (np.random.randn(10, 2) * 0.25 + np.array([-0.5, 0.5])),
                  (np.random.randn(10, 2) * 0.5 + np.array([-0.5, -0.5])),
                  (np.random.randn(10, 2) * 0.5 + np.array([0.5, -0.5])),
                  (np.random.randn(10, 2) * 0.5 + np.array([0.5, 0.5]))))
plt.scatter(data[:,0], data[:,1])
plt.show()

運行結果如下：

我們可以使用K-means算法將這40個點聚成3類，代碼如下：

kmeans = KMeans(k=3, max_iters=100)
labels = kmeans.fit(data)
colors = ['r', 'g', 'b']
for i in range(kmeans.K):
    plt.scatter(data[labels==i][:,0], data[labels==i][:,1], color=colors[i])
plt.scatter(kmeans.centroids[:,0], kmeans.centroids[:,1], marker='x', color='black')
plt.show()

運行結果如下：

四、K-means算法的優缺點

K-means算法是一種快速且易於實現的聚類算法，但是也存在一些缺點，如下所示：

• 需要預先指定類別數，如果K值選擇不當，會導致聚類性能較差；
• 對於非凸形狀或密度不均勻的數據分佈，聚類效果較差；
• 算法對初始值非常敏感，不同的初始值可能會得到不同的聚類結果；
• 只能適用於連續型的數值型特徵，對於離散型或文本型特徵不可使用。

五、總結

聚類分析是一種無監督學習方法，其主要目的是將相似的數據樣本自動分組到若干個類別中。本文介紹了K-means算法，並提供了一個簡單的代碼實現和應用，同時對K-means算法的優缺點進行了分析。在實際應用中，需要根據數據特點選擇合適的聚類算法，並選取合適的K值來提高聚類性能。