等值演算法詳解

一、什麼是等值演算法

等值演算法（Equivalence Algorithm）是一種用於比較兩個有限狀態自動機（Finite State Automata，FSA）是否等價的算法。所謂的等價，就是兩個FSA可以接受相同語言。等值演算法可以應用於諸如模式匹配、靜態分析等領域，以判斷兩個模型的等價性。

二、等值演算法的原理

等值演算法的核心原理是，通過遍歷FSA中的每個狀態，並利用已知信息推斷出其它狀態之間的等價關係。等價關係是指兩個狀態所在的FSA可以接受同樣的語言，如果兩個狀態不等價，則它們可以被區分為不同的狀態。

下面是等值演算法的基本思路：

1. 初始化：確定關於某個狀態對是否等價的初始關係；
2. 遍歷：遍歷兩個FSA中的所有狀態；
3. 劃分：根據遍歷中發現的不等價狀態，將它們劃分到不同的等價類中；
4. 重複遍歷：對於新的等價類，重複第2步和第3步直到沒有新的等價類產生；
5. 判斷：如果劃分後每個等價類只包含一個狀態，則表示兩個FSA等價。

這樣遍歷一次後，就能得到兩個FSA中的所有狀態和它們之間的等價關係，這種時間複雜度為O(mn)，其中m、n為兩個FSA中狀態的數量。不過，在實際應用中，等值演算法的效率比這個要高，因為它會在遍歷的時候去除一些相對無用的狀態。

三、等值演算法的應用

等值演算法廣泛應用於自動機理論、模式匹配、編譯優化、軟件測試等領域。下面以模式匹配為例，介紹等值演算法的應用：

在模式匹配中，等值演算法可以用來比較兩個正則表達式DFA是否等價。如果等價，那麼它們可以匹配同樣的文本，以及返回同樣的匹配結果。如果不等價，則不同的正則表達式可能會匹配不同的文本或返回不同的結果。利用等值演算法可以通過自動地分析等價性，實現正則表達式的最小化，從而提高匹配效率。

下面是使用Python語言實現正則表達式的等價性判斷的示例代碼：

import re
from collections import deque

# 狀態轉移函數
def move(state, symbol):
    result = set()
    for s in state:
        if (s, symbol) in transition:
            result |= transition[(s, symbol)]
    return frozenset(result)

# BFS遍歷狀態空間和構建相應等價類的函數
def bfs(start):
    queue = deque([start])
    visited = {start}
    classes = {}
    while queue:
        curr = queue.popleft()
        curr_class = {curr}
        for symbol in alphabet:
            next = move(curr, symbol)
            if next not in visited:
                visited.add(next)
                queue.append(next)
            if next in classes:
                curr_class = classes[next]
                break
        classes[curr] = curr_class
    return classes

# 正則表達式轉DFA
def regexp2dfa(regexp):
    # 正則表達式轉化為NFA
    nfa = re.compile(regexp).pattern
    num_states = len(nfa) + 1
    nfa.append(set())
    alphabet = set()
    start_state = {0}
    accept_states = set()
    for i in range(num_states):
        for symbol in set(nfa[i]):
            if symbol != 'ε':
                alphabet.add(symbol)
                next_state = i + 1
                if next_state == num_states:
                    nfa.append(set())
                nfa[i].remove(symbol)
                nfa[i].add((symbol, next_state))
    for i in range(num_states):
        if '' in nfa[i]:
            nfa[i].remove('')
            accept_states.add(i)
    # NFA轉DFA
    transition = {}
    for state in range(num_states):
        for symbol in alphabet:
            next_states = set()
            for s in nfa[state]:
                if s[0] == symbol:
                    next_states.add(s[1])
            if next_states:
                transition[(state, symbol)] = frozenset(next_states)
    dfa_start = bfs(start_state)[start_state]
    dfa_accept = set()
    for state, c in bfs(accept_states).items():
        if dfa_start & c:
            dfa_accept.add(state)
    dfa_states = {c for c in bfs(start_state).values()}
    num_states = len(dfa_states)
    mapping = {c: i for i, c in enumerate(sorted(dfa_states))}
    transition = {(mapping[c], symbol): mapping[d] for (c, symbol), d in transition.items() if c in dfa_states and d in dfa_states}
    dfa_start = mapping[dfa_start]
    dfa_accept = {mapping[c] for c in dfa_accept}
    return num_states, alphabet, transition, dfa_start, dfa_accept

# 等價性判斷函數
def equivalence(regexp1, regexp2):
    dfa1 = regexp2dfa(regexp1)
    dfa2 = regexp2dfa(regexp2)
    num_states1, alphabet1, transition1, start_state1, accept_states1 = dfa1
    num_states2, alphabet2, transition2, start_state2, accept_states2 = dfa2
    # 判斷有向圖可達性
    def reach(start, accept):
        visited = set()
        queue = deque([start])
        while queue:
            curr = queue.popleft()
            visited.add(curr)
            if curr in accept:
                return True
            for symbol in alphabet:
                if (curr, symbol) in transition1 and (transition1[(curr, symbol)], symbol) in transition2 and transition2[(transition1[(curr, symbol)], symbol)] not in visited:
                    queue.append(transition2[(transition1[(curr, symbol)], symbol)])
        return False
    # BFS遍歷劃分等價類
    queue = deque([(frozenset(accept_states1), frozenset(accept_states2))])
    visited = set()
    while queue:
        curr1, curr2 = queue.popleft()
        visited.add((curr1, curr2))
        for symbol in alphabet:
            next1 = move(curr1, symbol)
            next2 = move(curr2, symbol)
            if next1 and next2:
                if (next1, next2) not in visited:
                    visited.add((next1, next2))
                    queue.append((next1, next2))
                elif not reach(next1, next2) or not reach(next2, next1):
                    return False
    return True

四、總結

等值演算法是一種用於比較兩個有限狀態自動機是否等價的算法。它可以應用於諸如模式匹配、靜態分析等領域，以判斷兩個模型的等價性。等值演算法通過遍歷狀態空間、判斷狀態之間的等價性並把它們分到不同的等價類中，從而實現了對有限狀態自動機的最小化。在具體應用中，等值演算法可以高效地判定兩個模型是否等價，從而可以應用於自動化測試、編譯優化等方面。