層次分析法公式細解

一、基本介紹

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是美國運籌學家托馬斯沙里特在20世紀70年代提出的一種系統性分析和綜合各種複雜對立因素的數學方法。

AHP法的基本思想是：對於一個複雜的問題或決策，在分解為若干個具有層次結構的因素因子之後，採用數學和邏輯方法對各個因素進行分析，得出權重或得分，最後進行綜合評價。

AHP法的基本公式是：

            A x W = λ x W

A表示因素間的關係矩陣，W表示待求的判斷矩陣，λ表示特徵向量，也就是權向量。具體求解過程如下：

1、建立判斷矩陣W。以判斷A和B哪個更重要為例，首先設定一組值比如A比B更重要則設W[1][2] = 3，B比A更重要則設W[2][1] = 1/3，對角線上的值都為1。

        1     3    5
W =  1/3    1    2
     1/5  1/2   1

2、計算判斷矩陣W的特徵向量λ。通過求解特徵方程(A-λI)x=0，得到λ1=3.15, λ2=0.11, λ3=0.02，將其標準化得到：

        0.732
λ =    0.261
       0.054

3、計算權重向量W。將判斷矩陣W的每一行或每一列的元素相加併除以元素個數得到：

        0.512
W =    0.307
       0.181

4、進行一致性檢驗。通過計算隨機一致性指標RI與一致性比例CR，並將CR與預設的閾值比較，以判斷判斷矩陣W的可信度。

層次分析法可以應用於決策分析、工程設計、投資規劃、市場研究、科學研究等領域。

舉個簡單例子，比如在制定一個旅遊計劃時，需要考慮各個景點之間的重要程度和遊玩時間。可以將每個景點作為因素，判斷矩陣W表示每個景點之間的重要程度以及遊玩時間的長短，通過AHP方法計算出每個景點的權重值從而制定出最佳旅遊計劃。

AHP法的優點在於可以處理複雜對立因素的決策問題，可以得到相對可靠的決策結果。同時，算法簡單易懂，適用範圍廣泛。

但是，AHP法也存在一些缺點，比如需要人為設定判斷矩陣W的值，存在主觀性；同時，在實際操作中，一致性檢驗的部分也容易出現錯誤。

層次分析法公式是複雜問題決策分析的一種常用方法，通過建立判斷矩陣、計算特徵向量、權重向量，得到最終的決策結果。應用廣泛，但需要注意算法的局限性以及一致性檢驗的重要性。

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