壁面函數

一、壁面函數概述

壁面函數是一種在流體動力學中用於計算流體在接近邊界處的速度、剪切應力和熱量傳遞的方法。在一些模擬領域中，它也被用於計算流體的壓力與速度分佈。

壁面函數適用於邊界層內的流體流動，該層內動量傳遞受到分子粘性阻力的支配。這類流動習慣於在表面處速度為0並向外向上升。當粘性效果的強度接近慣性效應時，壁面函數的適用範圍將出現問題。

二、壁面函數工作原理

壁面函數的核心是邊界層方程，它被描述為：

u* = κu / ln(y+ / y0)

其中 u 表示 流體速度、y 表示 離壁面的距離，y+ 表示 y 的分數似乎與流動顆粒的尺度成正比。 κ 和 y0 分別是 常數 和 基準長度。

如果想在壁面外計算速度，需要將上述方程集成起來。當然，這一過程不是無限制的。 因為這道集成的文氣模達的往往不是很簡單，所以在實際的計算中，我們通常傾向於使用壁面函數來繞開這個問題。

三、壁面函數優缺點

1. 優點

相對於數值計算方法，壁面函數在處理壁面附近流體的動態行為時，不僅可以提高計算速度，而且可以節省大量的計算資源。

由於坐標變換被放置在邊界層周圍的區域，因此壁面函數在處理層中的粘性區域流體時，往往可以減輕數值分析的複雜性。

2. 缺點

由於小的細節往往被壁面函數所忽略，因此壁面函數在計算粘性區域中的流體動態行為時，經常會引入與經驗偏差相應的誤差。

因為壁面函數在壁面區域的適用性限制，它不適用於外推與干擾模擬。

四、壁面函數的代碼示例

1. Python 代碼

def wall_function(kappa, y, y0, u):
    """
    Calculates the wall function for turbulent flows in pipes
    """
    yplus = kappa * y / u
    A = 2.0 / kappa * log(yplus / y0)
    return u / kappa * log(yplus / y0)

2. Matlab 代碼

function [Uplus] = calc_Uplus(K,n,U,NU,tauw,dx,y)

k=1;
for i=1:length(y)
    yp = (1/NU)*sqrt(tauw/abs(K))*y(i);
    %Calc u+
    Uplus_k(i) = U(i)/(NU*sqrt(tauw/abs(K)))*log(yp)+B-L*k^2;
end
end

3. C++ 代碼

double CalcWallFrictionVelocity(double mu, double rho, double U, double L)
{
    double Re_L = rho * U * L / mu;
    double f = CalculateFanningFrictionFactor(Re_L, L);

    return sqrt(f / 8 * rho * fabs(U) * U);
}