廣義線性混合模型

一、簡介

廣義線性混合模型是一種統計模型，在許多實際問題中都有廣泛的應用。該模型的主要特點是可以同時處理連續型變量、二元型變量、計數型變量以及其他類型的變量。同時，廣義線性混合模型還考慮了來自不同來源的數據之間的相關性，可以用於分析重複測量、觀察數據、長期追蹤數據等問題。本文將從多個方面對廣義線性混合模型進行詳細的闡述。

二、數據類型和模型形式

廣義線性混合模型可以處理許多不同類型的數據，包括二進制、計數和連續型數據，以及一些其他特殊類型的數據。模型形式包括人口平均模型、條件模型和隨機效應模型等。

1. 二進制數據

二進制數據是指只有兩種取值的數據，例如，喜歡或不喜歡、成功或失敗等。在廣義線性混合模型中，二進制數據的響應變量一般服從伯努利分佈或二項分佈。這些模型通常包括一個線性預測子，在這個預測子中，自變量的係數可以被認為是「對數幾率」的函數。

library(lme4)
fit <- glmer(response ~ predictor + (1|group), family = binomial(link = "logit"), data = mydata)

2. 計數數據

計數數據是指只能夠取非負整數的數據，例如計數型數據、記分型數據等。在廣義線性混合模型中，計數數據的響應變量可以服從泊松分佈或負二項分佈。這些模型通常包括一個線性預測子，在這個預測子中，自變量的係數可以被認為是「期望計數」的函數。

fit <- glmer(count ~ predictor + (1|group), family = poisson(link = "log"), data = mydata)

3. 連續型數據

連續型數據是指能夠取任意實數值的數據，例如身高、體重等。在廣義線性混合模型中，連續型數據的響應變量可以服從正態分佈、指數族分佈、伽馬分佈等。這些模型通常包括一個線性預測子，在這個預測子中，自變量的係數是作為響應變量的期望值。

library(lme4)
fit <- lmer(y ~ x1 + x2 + (1|subject) + (1|item), data = mydata)

三、模型解釋和評估

廣義線性混合模型可以用來解釋變異性和協方差結構，當評估這些模型時，需要考慮多種因素。其中最常使用的方法是統計量估計和假設檢驗，選擇合適的擬合信息準則也是一個重要的問題。

1. 統計量估計和假設檢驗

估計和檢驗參數是對廣義線性混合模型進行評估的基本方法。廣義線性混合模型使用最大似然估計的方法進行參數估計，隨機效應的方差和協方差結構則使用另外的方法進行估計。進行統計檢驗可以得到顯著性水平和置信區間，從而可以對模型係數的顯著程度進行評估。

summary(fit)
anova(fit)

2. 擬合信息準則

選擇合適的擬合信息準則對於廣義線性混合模型的評估也非常重要。最常見的準則是AIC和BIC，這些準則考慮了模型的擬合程度以及模型中的自由度。

AIC(fit)
BIC(fit)

四、模型應用舉例

下面是一個廣義線性混合模型的實際應用案例：

1. 研究設計

一個假想的研究涉及到兩個固定因素，分別為眼睛的位置和屏幕亮度，以及一個隨機因素，為被試的Id。研究目的是研究閱讀速度的變化。

2. 數據收集和處理

從20個被試中，每個被試讀取同樣的10段文本，每個文本分別使用了不同的眼睛位置和屏幕亮度。收集數據後，需要將數據進行轉換，變成二進制數據或者計數數據。

3. 分析模型

進行廣義線性混合模型的分析，可以使用下面的代碼：

library(lme4)
fit <- glmer(response ~ position * brightness + (1|subject), family = binomial(link = "logit"), data = mydata)
summary(fit)
plot(fit)

4. 結果解釋

通過模型估計得到的數據，可以從多個角度進行解釋。變量係數、偏差、置信區間、顯著性水平等都是需要解釋的數據。其中最為重要的是變量係數和相關的置信區間，這對於研究結果的解釋具有非常大的意義。