ACF和PACF在時間序列中的應用

一、ACF和PACF概念

自相關函數（ACF，Autocorrelation Function）是一種時間序列分析方法，在統計學中常常用於尋找時間序列中的循環波動。自相關函數ACF的含義是同一時間序列在不同時間點上的取值之間的相關程度。

部分自相關函數(PACF，Partial Autocorrelation Function) 其實是求解遞歸的偏相關係數。此概念源於剛才提到的AR(p)模型中的「p」。這裡說的「偏」就是指消除其它所有項對第k階自相關係數的影響。[1]

import pandas as pd
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf

# 創建時間序列
date_rng = pd.date_range(start='1/1/2020', end='1/08/2020', freq='H')
ts = pd.DataFrame(date_rng, columns=['date'])
ts['data'] = pd.to_datetime(ts['date'],errors='coerce')
ts['count'] = ts['date'].dt.hour

# 繪製ACF和PACF圖
plot_acf(ts['count'])
plot_pacf(ts['count'])

二、ACF和PACF的用法

在時間序列預測建模中，使用ACF和PACF可以幫助我們選擇正確的模型。當ACF和PACF曲線截尾後，我們可以得到一個最佳的ARMA模型。

如果ACF曲線具有截尾性,而PACF曲線具有截尾性，那麼就應該採用ARMA模型。具體的含義是，該時間序列可以用ARMA模型中的p階自回歸和q階移動平均項來擬合。[2]

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA

# 建立ARIMA模型
model = ARIMA(ts['count'], order=(2, 1, 2))
model_fit = model.fit(disp=0)
print(model_fit.summary())

三、ACF和PACF的局限性

ACF和PACF方法並不能適用於所有類型的時間序列。例如，時間序列中存在趨勢和季節性的情況下，將出現「帶」現象，因此可能需要使用更高階的模型。此外，如果時間序列具有噪聲，則其自相關或偏自相關包含大量噪聲，沒有明顯的截尾。

在這種情況下，可以考慮使用其他預測建模方法，例如ETS模型、SARIMA模型等等。

四、總結

ACF和PACF是時間序列預測建模中非常重要的工具，可以幫助我們選擇正確的ARMA模型。使用這兩種方法需要注意時間序列的類型和數據質量，避免「帶」現象和噪聲的影響。

完整代碼參見：

import pandas as pd
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA

# 創建時間序列
date_rng = pd.date_range(start='1/1/2020', end='1/08/2020', freq='H')
ts = pd.DataFrame(date_rng, columns=['date'])
ts['data'] = pd.to_datetime(ts['date'],errors='coerce')
ts['count'] = ts['date'].dt.hour

# 繪製ACF和PACF圖
plot_acf(ts['count'])
plot_pacf(ts['count'])

# 建立ARIMA模型
model = ARIMA(ts['count'], order=(2, 1, 2))
model_fit = model.fit(disp=0)
print(model_fit.summary())

參考文獻

[1] 騰訊課堂. 決策樹. ACF與PACF相關知識. https://ke.qq.com/course/55475?tuin=305ebb5c

[2] 橘子有時. 【Python時間序列】二、ARIMA模型初步. https://www.cnblogs.com/juzihong/p/9349847.html