正則方程的闡述與應用

一、什麼是正則方程？

1、正則方程是什麼

正則方程是一種通過矩陣來求解線性回歸參數的方法，其目的是通過求解導數為 0 來得到參數的最小二乘估計值。簡單來說，正則方程是通過數學方法快速計算出線性回歸模型的最優解。

2、正則方程的推導過程

我們常見的線性回歸模型可以通過下面的公式表示：

h(x) = θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn

其中，h 表示「假設函數」，x₁~x_n 表示特徵向量，θ₀~θ_n 表示假設函數的係數。

通過最小化假設函數 h(x) 與實際值 y 之間的平方誤差來求解假設函數參數。

參數估計公式如下：

θ = (XTX)-1XTy

其中，X 是特徵向量經過加工得到的矩陣，y 是實際輸出結果，θ 是假設函數的係數。

當矩陣 X^TX 可逆時，求解出的參數估計值是最小二乘估計值。

二、正則方程的優點

1、正則方程能夠快速計算最小二乘估計值。

2、正則方程的計算過程是向量化並且可並行化的，所以對於大型數據集，使用正則方程求解線性回歸模型可以節省時間。

3、正則方程不需要選擇學習率（learning rate）等超參數，因此對於部分簡單的數據集，正則方程的優化效果可能要比迭代求解方法更好。

4、正則方程可以通過添加正則化項來解決過擬合問題。

三、正則方程的應用

1、使用正則方程求解二元線性回歸

下面的代碼展示了如何使用正則方程來求解二元線性回歸問題：

X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]]) # 特徵向量
y = np.array([3, 4, 5, 6]) # 實際輸出結果
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y) # 求解 theta

2、使用正則方程求解多元線性回歸

下面的代碼展示了如何使用正則方程來求解多元線性回歸問題：

X = np.array([[1, 1, 2], [1, 2, 4], [1, 3, 6], [1, 4, 8]]) # 特徵向量
y = np.array([3, 4, 5, 6]) # 實際輸出結果
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y) # 求解 theta

3、使用正則方程解決過擬合問題

下面的代碼展示了如何使用正則方程中的正則化項來解決過擬合問題：

X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]]) # 特徵向量
y = np.array([3, 4, 5, 6]) # 實際輸出結果
lam = 0.1 # 正則化係數
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X) + lam*np.eye(X.shape[1])).dot(X.T).dot(y) # 求解 theta

四、正則方程總結

正則方程是一種通過矩陣來求解線性回歸參數的方法，其計算過程可以進行向量化並且可並行化，可以在比較短的時間內計算出最小二乘估計值。正則方程不需要選擇學習率等超參數，所以對於簡單的數據集而言可以節省時間。除此之外，正則方程還可以通過正則化項來解決過擬合問題。雖然正則方程可能會受到數據集維度和矩陣非可逆問題的影響，但在多數情況下，正則方程還是一種非常實用的求解線性回歸參數的方法。