邏輯斯諦回歸：詳細解析

邏輯斯諦回歸（Logistic Regression）是一種常見的分類算法，它可以用於二元分類和多元分類問題，如信用卡詐騙、疾病診斷等。下面我們將從多個方面闡述邏輯斯諦回歸的基本原理和應用。

一、模型基礎

邏輯斯諦回歸是一種基於概率的分類算法，其本質是在對連續函數進行非線性變換後，利用最大似然估計的方法來估計各變量的係數，從而得到分類函數。

通常我們採用sigmoid函數（也稱為logistic函數），將函數值映射到0~1之間，用於表示輸出屬於某一類的概率。sigmoid函數的定義為：

    def sigmoid(x):
        return 1 / (1 + np.exp(-x))

其中，exp（x）是自然指數函數，np是numpy庫中的函數。sigmoid函數的圖像如下所示：

該函數有如下特點：

• 當x趨近正無窮時，f(x)趨近於1；
• 當x趨近負無窮時，f(x)趨近於0；
• 當x=0時，f(x) = 0.5。

邏輯斯諦回歸的分類函數通常用以下形式表示：

    y = f(w.T * x + b)

其中x是輸入特徵向量，w是輸入權重向量（即我們要學習的參數），b是偏置量，f是sigmoid函數。此時，輸出y在0和1之間。我們可以將輸出y表示為樣本屬於某一類的概率。

二、參數估計

邏輯斯諦回歸的參數估計是通過最大似然估計來得到的，即找到一組w和b，使得似然函數L達到最大值。似然函數的定義為：

L(w, b) = ∏_i=1^N (f(w.T * x_i + b))^y_i (1 – f(w.T * x_i + b))^1-y_i

其中，N是樣本數，x_i和y_i分別是第i個樣本的特徵向量和分類標籤。

在求解L(w, b)兩側的對數後，我們可以得到似然函數的對數，也稱為對數似然函數，它通常表示為下式：

LL(w, b) = Σ_i=1^N [y_ilogf(w.T * x_i + b) + (1 – y_i)log(1 – f(w.T * x_i + b))]

此時，對數似然函數為一個凸函數，通常採用梯度下降法或牛頓法等優化算法來最大化對數似然函數，求解參數w和b。

在實現梯度下降法的時候，我們還需要計算似然函數的梯度，即：

    def gradient(X, Y, w, b):
        Z = np.dot(X, w) + b
        A = sigmoid(Z)
        dZ = A - Y
        dw = np.dot(X.T, dZ) / m
        db = np.mean(dZ)
        return dw, db

三、模型評估

為了對我們訓練好的邏輯斯諦回歸模型進行評估，我們需要計算模型準確率以及其他指標，比如精確度、召回率和F1分數等。

對於二元分類問題，準確率計算公式如下：

Accuracy = (TP+TN)/(TP+TN+FP+FN)

其中，TP指的是真陽性，TN指的是真陰性，FP指的是假陽性，FN指的是假陰性。精確度和召回率計算公式分別如下：

Precision = TP / (TP + FP)

Recall = TP / (TP + FN)

F1分數則是精確度和召回率的一個加權平均數，計算公式如下：

F1 = 2 * Precision * Recall / (Precision + Recall)

我們可以使用Python中的Sklearn庫實現這些指標的計算，具體代碼如下：

    from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score

    y_pred = clf.predict(X_test)
    acc = accuracy_score(y_test, y_pred)
    prec = precision_score(y_test, y_pred)
    rec = recall_score(y_test, y_pred)
    f1 = f1_score(y_test, y_pred)

    print("Accuracy: ", acc)
    print("Precision: ", prec)
    print("Recall: ", rec)
    print("F1 Score: ", f1)

四、樣本權重調整

在邏輯斯諦回歸中，我們有時需要通過樣本的權重來調整模型，提高模型的分類準確率。樣本權重可以通過建立一個損失函數，在其中加入樣本權重後進行最小化，從而得到改進後的模型。

以權重為1和0.5的MNIST數據集為例，我們可以給出相應的損失函數，代碼如下：

    def sigmoid(z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
    def loss(w, X, y, l1=0.0, l2=0.0):
        z = np.dot(X, w[:-1]) + w[-1]
        prob = sigmoid(z)
        log_loss = (1 - y) * np.log(1 - prob) + y * np.log(prob)
        sum_weight = np.sum(instance_weights)

        return np.mean(sum_weight * log_loss) + l1 * np.sum(np.abs(w)) + 0.5 * l2 * np.sum(w**2)

在模型訓練時，我們可以根據實際情況設定樣本權重。

五、典型應用

邏輯斯諦回歸是一種廣泛應用於分類問題的算法，其中一些典型案例可以列舉如下：

• 信用卡欺詐檢測：通過分析用戶信息、交易信息和支付行為等來識別信用卡欺詐行為；
• 癌症診斷：通過分析病人的生物標誌物、基因突變和家族史等來診斷是否患有癌症；
• 商品推薦系統：根據用戶歷史行為、個人信息以及社交網絡等信息來預測用戶喜好和需求，從而推薦相應的商品。

通過邏輯斯諦回歸算法，我們可以針對不同的應用場景，訓練出相應的模型，從而實現預測、分類和推薦等功能。