Python FFT函數介紹與應用

引言

快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）是一種高效的傅里葉變換算法，廣泛應用於信號處理、圖像處理以及數字信號處理等領域。Python中提供了numpy.fft模塊用於計算快速傅里葉變換。

正文

一、FFT函數介紹

FFT函數是numpy.fft模塊中最主要的函數之一。它的基本用法如下：

import numpy as np

# 定義一個n個採樣點的信號，採樣周期為T
T = 1/800.0
n = 800
t = np.linspace(0, n*T, n)
x = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*t)

# 計算信號的快速傅里葉變換
y = np.fft.fft(x)

在上面的例子中，我們定義了一個採樣周期為T，採樣點數為n的信號x，並計算了其快速傅里葉變換y。在實際應用中，我們可以通過FFT函數計算信號的頻譜密度、功率譜等特徵。

二、FFT函數的參數說明

FFT函數的完整參數列表如下：

numpy.fft.fft(x, n=None, axis=-1, norm=None)

其中，x是要進行FFT變換的一維或多維數組；n是FFT變換的長度，如果不指定默認為x的長度；axis指定進行FFT變換的軸，默認為最後一個軸；norm指定歸一化方式，默認不進行歸一化。

三、FFT函數的應用

1. 信號濾波

在信號處理中，濾波是一種常用的技術，可以通過濾波消除信號中的噪聲、干擾等。在FFT中，我們可以通過將信號進行傅里葉變換後，濾掉不需要的頻率成分，再將變換之後的信號進行反變換，得到濾波之後的信號。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成帶噪聲的信號
t = np.linspace(0, 1, 1000)
x = np.sin(2*np.pi*15*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*40*t)
xn = x + np.random.randn(len(x))*0.08

# 計算信號的快速傅里葉變換
y = np.fft.fft(xn)

# 已知需要濾除的頻率為40Hz，使用布特沃斯濾波器濾除其它頻率成分
from scipy.signal import butter, lfilter
b, a = butter(4, 2*30/1000.0, 'lowpass')
yf = lfilter(b, a, y)

# 計算濾波之後的信號，並進行繪圖
xf = np.fft.ifft(yf)
plt.plot(t, xn, 'b', label='With Noise') # 帶噪聲的信號
plt.plot(t, xf, 'r', label='Filtered') # 濾波之後的信號
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

2. 信號分析

在信號處理中，我們常常需要對信號進行頻域分析，以便更好地理解信號的特徵，提取有效信息。FFT提供了一種有效的手段，可以計算信號的頻譜密度、功率譜等特徵。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一段信號
T = 1/2000.0
n = 2000
t = np.linspace(0, n*T, n)
x = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*t)
y = np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*t)
z = x + y

# 計算信號的快速傅里葉變換
freqs = np.fft.fftfreq(len(z), T)
y = np.fft.fft(z)

# 計算信號的功率譜，並進行繪圖
ps = np.abs(y)**2
idx = np.argsort(freqs)
plt.plot(freqs[idx], ps[idx])
plt.xlabel('Frequency')
plt.ylabel('Power Spectrum')
plt.show()

3. 圖像處理

FFT可以應用於圖像處理領域，例如圖像去噪、圖像增強、圖像匹配等。對於二維圖像，我們可以通過對每一行和每一列進行一次一維FFT變換，實現對圖像進行二維FFT變換。

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 讀取一張圖像
img = cv2.imread("lena.png", 0)

# 對圖像進行二維FFT變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))

# 將中心點移動到圖像中心
rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows/2, cols/2
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.real(img_back)

# 進行繪圖
plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

結論

FFT是一種重要的信號處理技術，廣泛應用於多個領域。通過numpy.fft模塊，我們可以方便地實現信號分析、圖像處理等功能。