深入剖析調整的R2

一、R2的概念

調整的R2是多元線性回歸中的一個重要指標，它反映了通過添加自變量而得到的模型擬合程度的提高。R2越高，表示模型越能夠解釋響應變量的方差，從而更好地預測未知數據。

調整的R2則在R2的基礎上，加入了自變量個數的懲罰項，防止模型過度擬合。因此，調整的R2可以更好地衡量模型的泛化能力。

二、R2和調整的R2的計算方法

在多元線性回歸模型中，R2的計算方法為：

R2 = 1 - SSE/SST

其中，SSE為殘差平方和，SST為總平方和。

而調整的R2的計算方法為：

調整的R2 = 1 - (1-R2)(n-1)/(n-p-1)

其中，n為樣本量，p為自變量個數。

三、影響R2和調整的R2的因素

1.自變量個數

當自變量個數增加時，R2會隨之增加，因為模型可以更好地擬合訓練數據。然而，調整的R2則會懲罰多餘的自變量，避免模型過度擬合。因此，當自變量個數過多時，調整的R2會下降。

2.樣本量

樣本量越大，模型可以更充分地學習數據的特徵，從而提高擬合程度。因此，隨着樣本量的增加，R2會增加。然而，調整的R2會進行懲罰，因此樣本量對其影響不太明顯。

3.特徵強度

特徵強度指的是自變量與因變量之間的線性關係程度。如果自變量與因變量之間的關係比較強，那麼模型可以更準確地擬合數據。因此，特徵強度越高，R2和調整的R2也會越高。

四、R2和調整的R2的應用場景

R2和調整的R2可以用來評估多元線性回歸模型的擬合程度和預測能力。

一般來說，R2越高，模型的擬合程度越好，但需要注意過度擬合的問題。而調整的R2則可以避免過度擬合，並且能夠更好地衡量模型的泛化能力。

因此，當我們需要選擇最適合的自變量子集或調整模型時，可以使用調整的R2作為評價指標。同時，當我們需要對未知數據進行預測時，也可以使用R2和調整的R2來評估模型的預測能力。

五、代碼示例

import numpy as np 
from sklearn.linear_model import LinearRegression 
from sklearn.metrics import r2_score 

# 構造數據
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
y = np.array([10, 20, 30, 40])

# 創建模型並進行擬合
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 計算R2和調整的R2
y_pred = model.predict(X)
r2 = r2_score(y, y_pred)
n = X.shape[0]
p = X.shape[1]
adj_r2 = 1 - (1-r2)*(n-1)/(n-p-1)

print('R2:', r2)
print('Adjusted R2:', adj_r2)

六、總結

調整的R2是多元線性回歸中重要的評估指標之一，可以用于衡量模型的擬合程度和泛化能力。同時，R2和調整的R2也可以用來選擇最適合的自變量子集或評估模型的預測能力。在實際應用中，需要結合實際問題和數據特徵，合理選擇評價指標。