Python代碼實現矩陣求逆

介紹

矩陣是代數學中的重要概念，應用廣泛。在許多科學領域，例如電子工程、物理學和統計學，都需要對矩陣進行運算。而在這些運算中，矩陣求逆是一項非常重要的操作。Python語言是一種功能強大且易於學習的編程語言，可以編寫用於求解矩陣逆的Python代碼。

正文

一、矩陣的概念

矩陣指的是一個由數個數值按照一定的規律排列成的矩形陣列。矩陣可以用來表示一組線性方程組或者是一個變換。

例如，下面的矩陣用來表示變換：

[1,2]
[3,4]

該矩陣是一個二階方陣，其中第一行表示變換前的向量坐標，第二行表示變換後的向量坐標。通過矩陣乘法運算，可以將變換前向量變換為變換後向量。該矩陣的逆矩陣是：

[-2,1]
[3/2,-1/2]

二、矩陣求逆的定義

在線性代數中，矩陣求逆是指對於一個n階非奇異矩陣A，存在另一個n階矩陣B，使得A與B的乘積等於單位矩陣I。即：

A × B = B × A = I

其中A稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，B稱為A的逆矩陣。

三、矩陣求逆的方法

有多種方法用於計算矩陣求逆，常見的方法包括伴隨矩陣法、高斯-約旦法和 LU 分解法等。

下面是一種基於高斯-約旦法的 Python 代碼：

def inverse_matrix(matrix: list) -> list:
    # 計算矩陣行列式的值
    determinant = matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0]
    
    # 計算矩陣伴隨矩陣的轉置矩陣
    adjugate = [[matrix[1][1], -matrix[0][1]],[-matrix[1][0], matrix[0][0]]]
    
    # 計算逆矩陣
    inverse = [[adjugate[0][0]/determinant, adjugate[0][1]/determinant],
               [adjugate[1][0]/determinant, adjugate[1][1]/determinant]]
    
    return inverse

該方法基於高斯-約旦消元法，將原矩陣和單位矩陣拼接在一起，並進行高斯消元，最終得到逆矩陣。

四、示例代碼

以下是示例代碼，通過該代碼可以計算一個二階矩陣的逆矩陣：

if __name__ == '__main__':
    matrix = [[1,2],[3,4]]
    print("原矩陣：", matrix)
    
    inverse = inverse_matrix(matrix)
    print("逆矩陣：", inverse)

輸出結果：

原矩陣： [[1, 2], [3, 4]]
逆矩陣： [[-2.0, 1.0], [1.5, -0.5]]

總結

矩陣求逆是代數學中重要的概念之一，Python 語言提供了多種方法用於計算矩陣求逆。本文介紹了矩陣的概念、矩陣求逆的定義與方法，並提供了一種基於高斯-約旦法的 Python 代碼實現。