矩陣的點乘和叉乘

在數學中，我們知道矩陣是由數個數排成的矩形陣列，其中m行n列的矩陣A和n行k列的矩陣B相乘，得到的是m行k列的矩陣C，我們可以將這個過程表示為：

C_ij = Σ_k=1ⁿ A_ik*B_kj

這個過程也被稱為矩陣的點乘，其中C_ij表示C矩陣的第i行第j列的元素。

而矩陣的叉乘則是針對向量進行的運算，定義如下：

A×B=|A||B|sinθn

其中，θ為A和B之間的夾角，|A|和|B|為它們的模長，n為一個垂直於A和B所在平面的單位向量，其方向遵循右手定則，即將右手的四指彎曲到A往B轉動的方向，大拇指所指方向就是n方向。另外，叉乘運算也常用於計算平面或空間中向量的法向量。

矩陣點乘和叉乘最大的區別在於運算對象。矩陣點乘所針對的是矩陣，而且需要滿足第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數，否則無法進行點乘操作。而矩陣的叉乘則是針對向量進行的，需要滿足兩個向量的維度分別為3，也要滿足兩個向量之間的夾角不為0度或180度，否則無法進行叉乘運算。

對於矩陣的點乘來說，我們需要滿足第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數才可以進行運算，簡單來說，就是兩個矩陣必須是「相容」的。而對於矩陣的叉乘來說，向量需要滿足維度分別為3，夾角不為0度或180度才可以進行運算。

運算法則如下：

C=(a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)

在計算機圖形學中，矩陣的叉乘和點乘常常是相互轉換的。比如，對於矩陣A、B和向量V，可以使用矩陣的乘法和叉乘運算來實現線性變換：

A*B*V = C

其中，A和B表示兩個變換矩陣，V為需要進行變換的向量，C為變換後的向量。如果我們想要使用矩陣的點乘來實現這個變換，就需要使用向量的擴展表示法，將向量V擴展成四維向量，然後進行點乘：

[ax bx cx dx] * [ay by cy dy] * [az bz cz dz] * [vx vy vz 1] = [cx' cy' cz' w]

其中，(cx’, cy’, cz’)為變換後的向量，w為縮放因子。

矩陣的點乘對於計算機圖形學中的3D變換來說，是至關重要的運算。

矩陣點乘的Python實現如下：

import numpy as np

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[7,8],[9,10],[11,12]])

C = np.dot(A, B)
print(C)

矩陣的叉乘可以用於向量的叉乘計算，以下是Python實現方法：

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

c = np.cross(a, b)
print(c)

在matlab中，矩陣的點乘可以使用「*」操作符進行運算，代碼示例如下：

A = [1 2 3; 4 5 6];
B = [7 8; 9 10; 11 12];

C = A * B;
disp(C);

而矩陣的叉乘可以使用cross函數來進行計算，例如：

a = [1 2 3];
b = [4 5 6];

c = cross(a, b);
disp(c);

以下是矩陣點乘和叉乘的示意圖：

從圖中我們可以看出，矩陣點乘是將第一個矩陣的行與第二個矩陣的列進行乘法運算，得到新的矩陣。而矩陣叉乘則是將兩個向量進行叉乘運算，得到垂直於這兩個向量的一個向量。

原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-hk/n/291998.html