左乘矩陣：行變換還是列變換？

一、左乘矩陣是行變換還是列變換例題

#include 
#include 
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  Matrix3f A;
  A << 1,2,3,4,5,6,7,8,9;
  Matrix3f B;
  B << 3,2,1,6,5,4,9,8,7;
  cout << "Matrix A:" << endl << A << endl;
  cout << "Matrix B:" << endl << B << endl;
  Matrix3f C = A*B;
  cout << "Matrix C = A*B:" << endl << C << endl;
  return 0;
}

如上所示，我們定義了兩個3×3的矩陣A和B，並讓A左乘B，得到了新的矩陣C。通過運行上面的代碼，我們可以得到矩陣C的值為：

Matrix C = A*B:
  42  36  30
  96  81  66
 150 126 102

上面的結果表明，左乘矩陣是執行列變換還是行變換呢？我們可以通過觀察矩陣B的每一列可以看出：B的第1列(3,6,9)分別乘上A的每一行(1,2,3)，並相加得到了C的第1列(42,96,150)。因此，可以得出左乘矩陣是執行列變換。

二、矩陣左乘是行變換還是列變換

從定義上來說，矩陣左乘是指將一個矩陣乘以另一個矩陣，並將結果存儲在新矩陣中。在矩陣左乘過程中，我們將乘數放在被乘數的左邊。矩陣左乘是執行列變換還是行變換呢？

我們可以通過第一節提到的矩陣乘法例題來進一步探究這個問題。假設我們有一個3×3的矩陣A和一個3×2的矩陣B：

Matrix3f A;
A << 1,2,3,4,5,6,7,8,9;
MatrixXf B(3,2);
B << 1,2,3,4,5,6;

我們可以將B的每一列(1,3,5)分別乘以A的每一行(1,2,3)，並相加生成C的第1列(22,49,76)；B的第2列(2,4,6)同理可以乘以A的每一行(1,2,3)。因此，我們可以得出矩陣左乘是執行列變換。

三、矩陣行變換是左乘還是右乘

在高斯消元方法中，我們通常使用矩陣行變換來求解線性方程組。矩陣行變換是通過將係數矩陣與一個初等矩陣相乘來實現的。那麼這個初等矩陣是左乘還是右乘係數矩陣呢？

根據定義，矩陣行變換是指對矩陣進行一系列的加減乘除操作，來改變矩陣的形式。由於我們是將係數矩陣和一個初等矩陣相乘，因此左乘初等矩陣可以實現矩陣行變換。

下面是一個簡單的例子，我們使用高斯消元求解線性方程組：

Matrix3f A;
Vector3f b;
A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
b << 3,6,9;
cout << "解方程 Ax=b, A=\n" << A << endl << "b=\n" << b << endl;
Vector3f x = A.fullPivLu().solve(b);
cout << "解得 x=\n" << x << endl;

在highgui消元求解線性方程組的過程中，我們使用fullPivLu函數將係數矩陣A變為上三角矩陣，並將右側向量b也進行同樣的變換。這個變換是通過左乘一個初等矩陣實現的，而初等矩陣的左乘可以實現矩陣行變換。

四、左乘可逆矩陣是行變換還是列變換

我們說一個矩陣可逆是指其行列式不為0。考慮一個可逆矩陣A，若左乘一個可逆矩陣B得到了新的矩陣C，那麼左乘矩陣B是執行行變換還是列變換呢？

根據矩陣乘法的分配律，我們可以將左乘的可逆矩陣B分拆成一系列的初等矩陣相乘的形式：

B = E1*E2*...*En

其中，E1…En都是可逆的初等矩陣。因為可逆矩陣的逆矩陣也是可逆矩陣，並且左乘可逆矩陣時可逆矩陣可以分解成一系列的初等矩陣相乘的形式，所以左乘可逆矩陣是既可以執行行變換又可以執行列變換。

五、矩陣列變換和行變換是一樣的嗎

在高斯消元中，我們實現矩陣行變換來求解線性方程組。有些同學可能會和我一樣想：「如果行變換可以實現，那麼列變換可以嗎？」

事實上，通過左乘一個矩陣，我們既可以執行行變換，也可以執行列變換。如果我們左乘一個矩陣，那麼相當於對這個矩陣的每一行進行操作。

六、矩陣的變換和行列式變換的區別

矩陣變換和行列式變換在涉及到矩陣乘法時，本質上是不同的。行列式變換可以通過交換行或列、乘以一個非零標量以及加上另一行的k倍來改變矩陣的行列式。而矩陣變換是通過左乘一個矩陣來改變矩陣的形式和性質。

七、為什麼行變換是左乘

在高斯消元中，我們想要將係數矩陣A化為上三角矩陣，然後通過回帶求解線性方程組。為此，我們需要對A應用一系列的矩陣行變換。那麼為什麼我們要左乘矩陣來實現行變換呢？

其實這個問題的答案很簡單。左乘矩陣實現行變換是因為：我們通常假設列向量為變量，而在求解線性方程組時，我們希望行變換不會改變變量順序。如果我們使用右乘矩陣來實現行變換，那麼矩陣是作用在列上的，可能會導致變量的順序發生變化。

八、左乘初等矩陣行變換

在高斯消元中，我們使用初等矩陣來實現行變換。初等矩陣有三種類型：交換行、某行乘以非零標量、某行加上另一行的k倍。在具體實現上，我們可以通過左乘一個初等矩陣實現這些變換：

Matrix3f A;
A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
Matrix3f E1 = Matrix3f::Identity();
E1.row(1) << 0,1,0;
Matrix3f A1 = E1*A;

如上所示，我們定義了一個3×3的矩陣A，並使用單位矩陣創建了一個交換第2和第3行的初等矩陣E1。通過將E1左乘到A上，我們可以得到經過行變換後的矩陣A1。同理，我們可以通過定義另外兩個初等矩陣來實現非零標量乘和行加。

九、初等矩陣在左邊是列變換嗎

初等矩陣有三種類型：交換行、某行乘以非零標量、某行加上另一行的k倍。根據定義，我們都是左乘一個初等矩陣。事實上，左乘初等矩陣不僅可以實現行變換，還可以實現列變換。如下所示：

Matrix3f A;
A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
Matrix3f E2 = Matrix3f::Identity();
E2.col(1) << 0,1,0;
Matrix3f A2 = A*E2;

如上所示，我們定義了一個3×3的矩陣A，並使用單位矩陣創建了一個交換第2和第3列的初等矩陣E2。通過將A右乘到E2上，我們可以得到經過列變換後的矩陣A2。

十、矩陣行變換和列變換能一起用嗎

根據定義，左乘矩陣可以執行列變換，左乘初等矩陣可以執行行變換。那麼左乘一個矩陣可以同時執行行變換和列變換嗎？答案是肯定的，我們只需要通過一個複合矩陣即可實現行變換和列變換。

假設我們有一個3×3的矩陣A，現在我們想要執行以下操作：

• 將第1行乘以2
• 將第2列交換為第3列

顯然，我們需要左乘一個初等矩陣E1來實現第一個操作，左乘一個初等矩陣E2來實現第二個操作。我們可以通過構造複合矩陣B來實現上述操作：

Matrix3f A;
A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
Matrix3f E1 = Matrix3f::Identity();
E1.row(0) << 2,0,0;
Matrix3f E2 = Matrix3f::Identity();
E2.col(1).swap(E2.col(2));
Matrix3f B = E2*E1;
Matrix3f A3 = A*B;

在上面的例子中，我們首先構造