c語言中心極限定理,用c語言求極限

本文目錄一覽：

1、c語言，隨機產生正態分佈，中心值為2，sigma為0.4
2、大爺大媽都能看懂的中心極限定理證明
3、出道題消遣一下
4、概率論與數理統計第五章大數定律及中心極限定理
5、用中心極限定理求概率
6、中心極限定理φ需要四捨五入嗎

c語言，隨機產生正態分佈，中心值為2，sigma為0.4

#include math.h

#include stdlib.h

#include time.h

#include stdio.h

#define pi 3.1415926535897

// 區間[min,max]上的均勻分佈,min和max要求傳入的參數類型一致

template class T

T rand(T min, T max)

{

return min + (max – min) * rand() / (RAND_MAX + 1.0);

}

// 求均值為miu，方差為sigma的正太分佈函數在x處的函數值

double normal(double x, double miu,double sigma)

{

return 1.0 / sqrt(2.0 * pi) / sigma * exp(-1.0 * (x – miu) * (x – miu) / (2.0 * sigma * sigma));

}

//按照矩形區域在函數值曲線上下位置分佈情況得到正太函數x值

double randn(double miu, double sigma, double min , double max)

{

double x, y, dScope;

{

x = rand(min,max);

y = normal(x,miu,sigma);

dScope = rand(0.0, normal(miu,miu,sigma));

}

while(dScope y);

return x;

}

// 簡單算法，實際結果和公式法差不多

#define rd (rand()/(RAND_MAX+1.0))

double randn(double miu, double sigma)

{

return (rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd – 6.0) * 0.5 * sigma + miu;

}

void main()

{

int i;

srand((unsigned)time( NULL ));

for (i = 0; i 128; i++)

{

printf(“%f%c”, randn(2.0, 0.4), (i % 8 == 7) ? ‘\n’ : ‘ ‘);

}

printf(“\n”);

for (i = 0; i 128; i++)

{

printf(“%f%c”, randn(2.0, 0.4, 0.0, 4.0), (i % 8 == 7) ? ‘\n’ : ‘ ‘);

}

printf(“\n”);

}

大爺大媽都能看懂的中心極限定理證明

title: 基於特徵函數的林德伯格中心極限定理的證明

date: 2020-7-2 19:00:00

category: 高等概率論

Proof of Lindeberg-levy limit theorem based on characteristic function

0. 林德伯格-列維中心極限定理的介紹

設為獨立同分佈的隨機變量序列，且。令，那麼當，隨機變量依分佈收斂於服從標準正態分佈的隨機變量X，即

1. 引理（特徵函數的定義及性質）

1.1 特徵函數的定義如下式：

1.2 標準正態分佈的概率密度函數（ p.d.f. ）及特徵函數( c.f. )如下式:

1.3 獨立變量和的特徵函數等於每個隨機變量特徵函數的乘積

2. 基於特徵函數的證明過程

令獨立同分佈，且。我們設的特徵函數為 ,則利用引理1.3有的特徵函數為 ,由高等數學的極限理論可知，當，有 .

接下來的事情就很簡單了，於0點處進行Taylor展開

把特徵函數於0點的函數值、一階導的函數值、二階導的函數值代入上式得到下式

對上式求n次冪，由於 ,則有的極限為 ,這恰好為標準正態分佈的隨機變量X的特徵函數（引理1.2）。

根據特徵函數的分佈理論的分佈函數依分佈收斂 .

至此，證明完畢，當然證明過程沒有先證明三個引理是十分不嚴謹的，不過問題不大，哈哈哈哈哈

本文作者:凌雷發佈日期：2020.7.2更新日期：2020.7.2

出道題消遣一下

考慮使用中心極限定理

假設每筆生意是相互獨立的，用X1，X2，…，X500表示500筆生意，E(Xi)=2,Var(Xi)=0.5

P{X1+X2+…+X500≤1024.625}

=P{1/(500^(1/2)*(0.5)^(1/2)) * (X1+X2+…+X500-1000)≤24.625/(500^(1/2)*(0.5)^(1/2))}

=Φ(1.55742) (標準正態分佈）

所求概率為1-Φ(1.55742)=1-0.9403=0.0597

概率論與數理統計第五章大數定律及中心極限定理

概率論是研究大量試驗後呈現出的統計規律性的一門理論。

數學中研究大量的工具是極限。

因此這一章學習概率論中的極限定理。

隨着試驗次數的增大，事件的頻率逐步穩定到事件的概率。意味着隨着試驗次數的增多，在某種收斂意義下，頻率的極限是概率。大數定律解釋了這一結論。

首先介紹切比雪夫不等式。

隨機變量的取值總是圍繞着其期望變動，若的分佈已知時，可以計算事件的概率。

切比雪夫不等式：

當隨機變量的分佈未知時，可由的觀測數據估計得到的期望和方差，然後使用切比雪夫不等式估計關於的偏離程度。

隨機變量序列即由隨機變量構成的一個序列。不能用類似定義數列極限的方式定義隨機變量序列的極限，因為序列中的每一個元素是隨機變量，取值不確定，不可能和一個常數c的距離任意小。

只能說某個事件發生的頻率收斂到的概率。

依概率收斂的定義：

定理2 ：

三個大數定律：切比雪夫大數定律、辛欽大數定律和伯努利大數定律。注意這三個大數定律的條件有何異同。

定理3 切比雪夫大數定律：

若隨機變量序列相互不相關，方差存在且一致有上界，當n充分大時，隨機序列的前n項的算術平均值和自身的期望充分接近幾乎總是發生的。

定理4 相互獨立同分佈的大數定律（辛欽大數定律）：

辛欽大數定律為算術平均值法則提供了理論依據。

伯努利大數定律：

伯努利大數定律是相互獨立同分佈大數定律的特例，限定分佈為兩點分佈。

伯努利大數定律體現了：隨着試驗次數的增大，事件的頻率逐步穩定到時間的概率，這裡的穩定即為依概率收斂。

伯努利大數定律的直觀意義：

試驗次數足夠多，可用頻率作為概率的估計。

三個大數定律的條件是不同的，它們的條件關係如圖所示。

大數定律在實際中有許多重要應用，除了算術平均值法則、用頻率估計概率，還有數理統計中參數的點估計思想等。

自然界中有許多隨機現象可以用正態分佈或近似正態分佈來描述，這是為何？中心極限定理揭示了其中的奧秘。

中心極限定理是相互獨立的隨機變量之和用正態分佈近似的一類定理。首先介紹最為著名的相互獨立同分佈情形下的中心極限定理，又稱為列維-林德伯格中心定理。

**定理1 列維-林德伯格中心極限定理（相互獨立同分佈）

定理的條件要求隨機變量相互獨立並且服從同一分佈。

還有更為一般的結論：只要隨機變量相互獨立，每個隨機變量對和的影響都是微笑的，哪怕它們的分佈類型不同，其和標準化後都有標準正態的極限分不。

中心極限定理的直觀意義：

中心極限定理在實際應用中有如下三種形式：

定理2 （棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）：二項分佈的正態近似。

中心極限定理的結論更為細緻：

中心極限定理是隨機變量和的分佈收斂到正態分佈的一類定理。不同的中心極限定理的差異就在於對隨機變量序列做出了不同的假設。

大數定律是保險業保險費計算的科學理論基礎。當承保標的數量足夠大時，由切比雪夫大數定律知，被保險人繳納的純保費與其能獲得賠款的期望值是相等的。

用中心極限定理求概率

（1）設售出的第i只蛋糕的價格為X(i)，則E(x(i))=0.3+0.24+0.75=1.29，

D(X(i))=0.0489.

根據獨立同分佈的中心極限定理，Y=X(1)+…+X(300)近似服從正態分佈N(387,14.67)，所以

收入至少400元的概率為P(Y=400) = 1-F((400-387)/3.83)=1-F(3.394)=1

(2)若售出第i只蛋糕為1.2元則讓Z(i)=1，否則Z(i)=0

那麼Z(i)服從0-1分佈。記U=Z(1)+…+Z(300)，則U~B(300,0.2)

根據中心極限定理U近似服從正態分佈N(60,48)

所以售出價格為1.2元的蛋糕多於60隻的概率為

P(U=60)=0.5

中心極限定理φ需要四捨五入嗎

3.4 中心極限定理

flyingczx

nothing

來自專欄概率學習筆記

中心極限定理與大數定律不同，其描述的是隨機變量和的弱收斂情況. 但不同的是中心極限定理告訴我們，如果考慮弱收斂，所有隨機變量和最終會趨於正態分佈，這就體現出了其強大之處.

我們先從最傳統的角度來理解中心極限定理.

Theorem 3.4.1 (De Moivre-Laplace定理) 若一列獨立同分佈的隨機變量列滿足，記部分和，則對兩實數有

proof : 由題設可知，服從參數為n和1/2的二項分佈，首先關注下標為偶數的情形. .

由Stirling公式 . (其中” “表示等價無窮小)

首先估計組合數：

於是

觀察題設，我們需要分析下的分佈情況. 當時，

類似地有 .

另外 . (這是因為時， )

即是說時， .

於是令，得到，其中， . 此時令， . (這是因為，根據黎曼積分的定義之上式成立. ) 另一方面，由題設，，不影響序列的收斂性，故命題成立.

Remark : De Moivre-Laplace定理是利用傳統的分析方法對二項分佈進行逼近，它是中心極限定理的雛形，它的出現甚至比現代概率論要早得多.

下面我們將介紹更一般的中心極限定理：

Theorem 3.4.2 (中心極限定理) 若獨立同分佈的隨機變量列滿足， . 令，則，其中服從標準正態分佈.

proof : 不妨考慮的情況. (否則可以令 ) 利用特徵函數的性質，任意的特徵函數 . 於是的特徵函數 . 上式中令，得到特徵函數的極限為，其正好就是標準正態分佈的特徵函數，由連續性定理，命題得證.

Remark : 雖然特徵函數是復值函數，但其在上述定理中用到的收斂性質還是與實函數相近的，感興趣的可以查看複分析相關教材.

中心極限定理說明，任何獨立同分佈的隨機變量列，它們的和都弱收斂到正態分佈，且參數只依賴於分佈的期望和方差. 如此一來，在估計大量數據時，這一定理就非常有用.

下面介紹中心極限定理的一個推廣結論：

Theorem 3.4.3 (Lindeberg-Feller定理) 對任意，有相互獨立的隨機變量列，其中， . 若

(1) ;

(2) 對任意的， .

則 .

proof : 對應的特徵函數，令，由連續性定理，只需證 .

在正式證明這點前，先證明一個結論： .

記，分別考慮n階和n+1階Lagrange余項，即存在使得， .

代入不等式左邊，由於，易得結論成立.

於是，由Jensen不等式，

下面記， .

根據上面的結論可得，對任意

於是，由題設(2)

由於是任意的，於是 .

利用數學歸納法容易證得 .

即是說

利用等價無窮小，結合(1)，求得上面等式右邊就是 . 於是命題得證.

Remark : Lindeberg-Feller定理說明大量足夠小的獨立隨機變量總和的分佈近似於正態分佈，或者直觀地認為，獨立的微小隨機擾動總和總是趨於正態分佈. 事實上，如果令，中心極限定理是Lindeberg-Feller定理的直接推論.

下面介紹中心極限定理在理論方面的一個應用，回顧一下2.5節中的Kolmogorov三級數定律，文中只給出了充分性的證明，本篇將給出必要性的證明：

Theorem 2.5.10 (Kolmogorov三級數定律) 若獨立，取，令，則幾乎處處收斂當且僅當：

(1) ；(2) ；(3) 同時成立.

proof : 充分性在第二章中已經給出，下面證明必要性.

反設(1)不成立，即存在使得 .

由第二B-C引理，，即是說有無窮多個使得 .

故不幾乎處處收斂，矛盾.

反設(1)成立而(3)不成立，記， . 則有， . 且對任意的時，由(1)，上述和為0.)

由Lindeberg-Feller定理，記，有弱收斂於標準正態分佈.

由題設，反設收斂，於是也收斂，由於假設了(3)不成立， . 於是有 . 結合上面證得弱收斂於標準正態分佈，有弱收斂於標準正態分佈，但它是常數，這不可能，矛盾.

最後，反設(1)(3)成立而(2)不成立，由Theorem 2.5.9，幾乎處處收斂.

由題設，反設收斂，於是也收斂，所以也收斂，即(2)必然成立，矛盾.

中心極限定理充分說明了正態分佈在概率論中的重要性. 在某些條件下，隨機變量和有時候不一定弱收斂到正態分佈. 下篇，我們將觀察一種收斂到泊松分佈的隨機變量列，它幫助我們更好地了解泊松分佈.

原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-hk/n/283310.html